O tempo para que um usuário leia um anúncio na web é uma Lognormal de média 2 e desvio-padrão 1 minuto.
Em até quantos minutos,
dos usuários conseguem ler o anúncio?
Resposta: 2,7
Em até quantos minutos,
Passo 1
O enunciado diz que o tempo para um usuário ler um anúncio é uma variável aleatória com distribuição lognormal cuja média é
minutos e o desvio-padrão é
minuto. A pergunta é: determinar
tal que
dos usuários conseguem ler o anúncio em no máximo
minutos, ou seja, encontrar
tal que
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Entendendo a lognormal e as fórmulas que vamos usar (mini-aula).
Se é lognormal, então existe
com distribuição normal tal que
. Vamos denotar
. As fórmulas padrão ligando
à média e variância de
são:
Se
Explicando cada termo:
-
é a média de (a média do logaritmo de ). -
é a variância de (a variância do logaritmo de ). -
e são, respectivamente, a média e a variância da variável original (tempos em minutos).
Essas fórmulas são derivadas do fato de quepara normal.
Passo 3
Converter os dados numéricos para usar nas fórmulas.
Temos e
, então a variância é
Temos
Denotando
e
, a relação entre
e
simplifica-se porque
Assim a fórmula da variância pode ser escrita como
Passo 4
Resolver para
.
A partir de
A partir de
isolamos
:
Substituindo
e
:
Logo
e
Passo 5
Encontrar
.
Usamos a fórmula da média . Tomando logaritmo:
Usamos a fórmula da média
Portanto
Substituindo
e
:
Passo 6
Calcular o quantil buscado
tal que
.
Se , então
Se
onde
é a função de distribuição normal padrão. Queremos
. Chamando
, temos
O valor conhecido é
. Então
Substituindo
,
e
:
Finalmente
Passo 7
Interpretando e arredondando para apresentação prática.
O cálculo dá minutos. Arredondando a uma casa decimal, obtemos
minutos, que é a resposta solicitada. Um jeito rápido de lembrar do procedimento em prova:
O cálculo dá
- a partir da média e desvio da lognormal, primeiro calcule
; - depois
; - então use o quantil normal padrão
e faça .
Resposta
2,7