O tempo para que um usuário leia um anúncio na web é uma Lognormal de média 2 e desvio-padrão 1 minuto.
Em até quantos minutos, 80 \% dos usuários conseguem ler o anúncio?
Resposta: 2,7

Passo 1

O enunciado diz que o tempo para um usuário ler um anúncio é uma variável aleatória com distribuição lognormal cuja média é 2 minutos e o desvio-padrão é 1 minuto. A pergunta é: determinar t tal que 80\% dos usuários conseguem ler o anúncio em no máximo t minutos, ou seja, encontrar t tal que
P(X \le t) = 0{,}8.
Informações relevantes dadas:
E[X]=2,\qquad \mathrm{SD}[X]=1.

Passo 2

Entendendo a lognormal e as fórmulas que vamos usar (mini-aula).
Se X é lognormal, então existe Y com distribuição normal tal que X = e^{Y}. Vamos denotar Y \sim N(\mu,\sigma^{2}). As fórmulas padrão ligando \mu,\sigma à média e variância de X são:
E[X] = e^{\mu + \frac{\sigma^{2}}{2}},
\mathrm{Var}[X] = \left(e^{\sigma^{2}}-1\right)e^{2\mu + \sigma^{2}}.
Explicando cada termo:
  • \mu é a média de Y (a média do logaritmo de X).
  • \sigma^{2} é a variância de Y (a variância do logaritmo de X).
  • E[X] e \mathrm{Var}[X] são, respectivamente, a média e a variância da variável original X (tempos em minutos).
    Essas fórmulas são derivadas do fato de que E[e^{aY}] = e^{a\mu + \frac{a^{2}\sigma^{2}}{2}} para Y normal.

Passo 3

Converter os dados numéricos para usar nas fórmulas.
Temos E[X]=2 e \mathrm{SD}[X]=1, então a variância é
\mathrm{Var}[X] = 1^{2} = 1.
Denotando m = E[X]=2 e v=\mathrm{Var}[X]=1, a relação entre v,m e \sigma^{2} simplifica-se porque
e^{2\mu + \sigma^{2}} = \left(e^{\mu + \frac{\sigma^{2}}{2}}\right)^{2} = m^{2}.
Assim a fórmula da variância pode ser escrita como
v = \left(e^{\sigma^{2}}-1\right)m^{2}.

Passo 4

Resolver para \sigma^{2}.
A partir de
v = \left(e^{\sigma^{2}}-1\right)m^{2},
isolamos e^{\sigma^{2}}:
e^{\sigma^{2}} = 1 + \frac{v}{m^{2}}.
Substituindo m=2 e v=1:
e^{\sigma^{2}} = 1 + \frac{1}{2^{2}} = 1 + \frac{1}{4} = 1{,}25.
Logo
\sigma^{2} = \ln(1{,}25)\approx 0{,}2231435513,
e
\sigma = \sqrt{\ln(1{,}25)} \approx 0{,}472380724.

Passo 5

Encontrar \mu.
Usamos a fórmula da média m = e^{\mu + \sigma^{2}/2}. Tomando logaritmo:
\mu + \frac{\sigma^{2}}{2} = \ln m.
Portanto
\mu = \ln m - \frac{\sigma^{2}}{2}.
Substituindo m=2 e \sigma^{2}=\ln(1{,}25):
\mu = \ln 2 - \frac{\ln(1{,}25)}{2} \approx 0{,}6931471806 - 0{,}1115717757 \approx 0{,}5815754049.

Passo 6

Calcular o quantil buscado t tal que P(X\le t)=0{,}8.
Se Y=\ln X \sim N(\mu,\sigma^{2}), então
P(X\le t) = P(Y \le \ln t) = \Phi\!\left(\frac{\ln t - \mu}{\sigma}\right),
onde \Phi é a função de distribuição normal padrão. Queremos \Phi\!\left(\frac{\ln t - \mu}{\sigma}\right)=0{,}8. Chamando z_{0{,}8}=\Phi^{-1}(0{,}8), temos
\frac{\ln t - \mu}{\sigma} = z_{0{,}8}.
O valor conhecido é z_{0{,}8}\approx 0{,}8416212336. Então
\ln t = \mu + \sigma z_{0{,}8}.
Substituindo \mu\approx 0{,}5815754049, \sigma\approx 0{,}472380724 e z_{0{,}8}\approx 0{,}8416212336:
\ln t \approx 0{,}5815754049 + 0{,}472380724\cdot 0{,}8416212336 \approx 0{,}979126405.
Finalmente
t = e^{\,0{,}979126405} \approx 2{,}6627.

Passo 7

Interpretando e arredondando para apresentação prática.
O cálculo dá t\approx 2{,}6627 minutos. Arredondando a uma casa decimal, obtemos t\approx 2{,}7 minutos, que é a resposta solicitada. Um jeito rápido de lembrar do procedimento em prova:
  • a partir da média e desvio da lognormal, primeiro calcule \sigma^{2}=\ln\!\big(1+\frac{v}{m^{2}}\big);
  • depois \mu=\ln m - \sigma^{2}/2;
  • então use o quantil normal padrão z e faça t=\exp(\mu+\sigma z).

Resposta

2,7

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