Em uma unidade de atendimento da Receita Federal dois funcionários recebem processos. Sabe-se que os tempos de atendimento dos funcionários 1 e 2 são em média 18 e 25 minutos, e são supostos normais. Observaram-se aleatoriamente os tempos de 16 atendimentos do funcionário 1 , e 25 atendimentos do funcionário 2 .
(a) Qual é a probabilidade do tempo de atendimento médio amostral do funcionário 1 seja superior ao tempo de atendimento médio do funcionário 2 , sabendo-se que:
(b) Pronuncie-se quanto às diferencias obtidas no item acima.
(c) Supondo que conhece a informação da primeira parte do item 1 acima, qual é a probabilidade da variância amostral no tempo de atendimento do funcionário 2 seja inferior à do funcionário 1 ?
i) Os desvios padrão populacionais são conhecidos:
e
minutos?
ii) Os desvios padrão amostrais observados foram 8 e 16 minutos, respectivamente?
(a) Qual é a probabilidade do tempo de atendimento médio amostral do funcionário 1 seja superior ao tempo de atendimento médio do funcionário 2 , sabendo-se que:
(b) Pronuncie-se quanto às diferencias obtidas no item acima.
(c) Supondo que conhece a informação da primeira parte do item 1 acima, qual é a probabilidade da variância amostral no tempo de atendimento do funcionário 2 seja inferior à do funcionário 1 ?
i) Os desvios padrão populacionais são conhecidos:
ii) Os desvios padrão amostrais observados foram 8 e 16 minutos, respectivamente?
Passo 1
Dados e perguntas (vou listar tudo que o enunciado dá e o que pede, bem mastigado):
- Foram informadas as médias populacionais dos tempos de atendimento:
minutos (funcionário 1) e minutos (funcionário 2). - Supõe‑se que os tempos são distribuídos normalmente e que as amostras foram obtidas aleatoriamente com tamanhos:
e . - Pergunta (a): calcular a probabilidade de que a média amostral do funcionário 1 seja maior que a do funcionário 2, isto é
. Para efetuar cálculos vamos usar as informações de desvios‑padrão que aparecem no item (c): e (caso (i) do item (c)). - Pergunta (b): interpretar / comentar o resultado obtido em (a).
- Pergunta (c): qual a probabilidade de que a variância amostral do funcionário 2 seja menor que a do funcionário 1, isto é
, nos dois cenários: - (i) quando os desvios‑padrão populacionais são conhecidos e valem
e ; - (ii) quando os desvios‑padrão amostrais observados foram
e .
Nada mais será assumido além do que está acima.
- (i) quando os desvios‑padrão populacionais são conhecidos e valem
Passo 2
Entendendo a distribuição da diferença das médias amostrais e a ideia para (a) — aula rápida e prática:
- Se
são observações independentes normais com média e variância , então a média amostral tem distribuição normal com
Explicando: a média de uma amostra normal é também normal; sua variância diminui com
como
. Cada termo é em unidades de minutos^2.
- Como as duas amostras são independentes, a diferença
também é normal com
Explicando: variâncias somam quando as variáveis são independentes; não aparece termo de covariância.
- Para obter
padronizamos a diferença usando a distribuição normal padrão .
Passo 3
Cálculo numérico para (a):
- Substituindo os dados:
.
- Queremos
. Padronizando:
Para o valor 0 temos
- Assim
Explicando:
é a função distribuição da normal padrão; a área acima de
é cerca de
, ou
.
Passo 4
Interpretação didática e comentário sobre (b):
- O resultado de (a) diz que, mesmo amostrando
atendimentos de e de , se as médias verdadeiras são e então a chance de a média amostral de exceder a de é muito baixa: aproximadamente . - Em linguagem de prova/estatística: a diferença de médias (
minutos) é grande comparada ao erro padrão da diferença ( ), o que produz um de . Isso mostra que esperar que a média amostral do funcionário 1 seja maior que a do 2 é pouco plausível — em termos práticos, é pouco provável que a ordem das médias se inverta por mero acaso nas amostras dadas as variabilidades assumidas. - Em termos de decisão: se alguém observar numa prova que
, isso seria um evento raro sob o modelo dado (significância ), então desconfiaríamos que houve flutuação rara ou que alguma suposição (médias/populações) não bate com a realidade.
Passo 5
Preparação para (c)(i): distribuição das variâncias amostrais e método para
- Para uma amostra de tamanho
de uma população normal com variância , o estatístico
onde
é a qui‑quadrado com
graus de liberdade. Isso é uma propriedade padrão: a soma dos quadrados centrados, normalizada pela variância, tem distribuição qui‑quadrado.
- Considere
e , independentes. - Formamos a razão
Agora observe a simplificação:
Portanto
Queremos
, isto é
. Substituindo:
Passo 6
Cálculo numérico para (c)(i) usando
,
:
- A razão das variâncias populacionais é
- Assim precisamos de
. - Usamos a relação entre
e a Beta: se então
onde
. Aqui
e
, com
. Então
- Assim
. - Para avaliar numericamente essa Beta CDF podemos aproximar a Beta por normal (quando os parâmetros não são pequenos isso é razoável). A Beta
tem média e variância .
Aqui, :
O ponto
está muito abaixo da média; o
-padronizado é
Pela normal padrão,
.
- Portanto
Interpretação rápida: é extremamente improvável que a variância amostral do funcionário 2 seja menor que a do 1, dado que a variância populacional do 2 é 4 vezes a do 1.
Passo 7
Resposta ao item (c)(ii) — caso dos desvios‑padrão amostrais observados:
- Se os desvios‑padrão amostrais observados foram exatamente
e , então o evento não ocorreu na amostra observada (porque implica para os valores observados). Logo, condicionando aos valores observados, a probabilidade de que seja verdadeira nos dados observados é .
- Observação didática: a resposta
é lógica porque, uma vez observados os valores amostrais, o evento é verdade ou falso deterministicoamente; a probabilidade empírica (condicionada aos dados) é ou conforme os números observados.
Resposta
A diferença é pouco provável de inverter por acaso: somente cerca de
Se os desvios‑padrão amostrais observados foram