Em uma unidade de atendimento da Receita Federal dois funcionários recebem processos. Sabe-se que os tempos de atendimento dos funcionários 1 e 2 são em média 18 e 25 minutos, e são supostos normais. Observaram-se aleatoriamente os tempos de 16 atendimentos do funcionário 1 , e 25 atendimentos do funcionário 2 .
(a) Qual é a probabilidade do tempo de atendimento médio amostral do funcionário 1 seja superior ao tempo de atendimento médio do funcionário 2 , sabendo-se que:
(b) Pronuncie-se quanto às diferencias obtidas no item acima.
(c) Supondo que conhece a informação da primeira parte do item 1 acima, qual é a probabilidade da variância amostral no tempo de atendimento do funcionário 2 seja inferior à do funcionário 1 ?
i) Os desvios padrão populacionais são conhecidos:
\sigma_{1}=8 e \sigma_{2}=16 minutos?
ii) Os desvios padrão amostrais observados foram 8 e 16 minutos, respectivamente?

Passo 1

Dados e perguntas (vou listar tudo que o enunciado dá e o que pede, bem mastigado):
  • Foram informadas as médias populacionais dos tempos de atendimento: \mu_1=18 minutos (funcionário 1) e \mu_2=25 minutos (funcionário 2).
  • Supõe‑se que os tempos são distribuídos normalmente e que as amostras foram obtidas aleatoriamente com tamanhos: n_1=16 e n_2=25.
  • Pergunta (a): calcular a probabilidade de que a média amostral do funcionário 1 seja maior que a do funcionário 2, isto é P(\bar X_1>\bar X_2). Para efetuar cálculos vamos usar as informações de desvios‑padrão que aparecem no item (c): \sigma_1=8 e \sigma_2=16 (caso (i) do item (c)).
  • Pergunta (b): interpretar / comentar o resultado obtido em (a).
  • Pergunta (c): qual a probabilidade de que a variância amostral do funcionário 2 seja menor que a do funcionário 1, isto é P(S_2^2<S_1^2), nos dois cenários:
    • (i) quando os desvios‑padrão populacionais são conhecidos e valem \sigma_1=8 e \sigma_2=16;
    • (ii) quando os desvios‑padrão amostrais observados foram s_1=8 e s_2=16.

      Nada mais será assumido além do que está acima.

Passo 2

Entendendo a distribuição da diferença das médias amostrais e a ideia para (a) — aula rápida e prática:
  • Se X_{1i} são observações independentes normais com média \mu_1 e variância \sigma_1^2, então a média amostral \bar X_1 tem distribuição normal com
\mathbb{E}(\bar X_1)=\mu_1,\qquad \mathrm{Var}(\bar X_1)=\frac{\sigma_1^2}{n_1}.
Explicando: a média de uma amostra normal é também normal; sua variância diminui com n como \sigma^2/n. Cada termo é em unidades de minutos^2.
  • Como as duas amostras são independentes, a diferença \bar X_1-\bar X_2 também é normal com
\mathbb{E}(\bar X_1-\bar X_2)=\mu_1-\mu_2,
\mathrm{Var}(\bar X_1-\bar X_2)=\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}.
Explicando: variâncias somam quando as variáveis são independentes; não aparece termo de covariância.
  • Para obter P(\bar X_1>\bar X_2) padronizamos a diferença usando a distribuição normal padrão Z.

Passo 3

Cálculo numérico para (a):
  • Substituindo os dados: \mu_1-\mu_2=18-25=-7.
\mathrm{Var}(\bar X_1-\bar X_2)=\frac{8^2}{16}+\frac{16^2}{25}=\frac{64}{16}+\frac{256}{25}=4+10{,}24=14{,}24.
\text{Desvio padrão da diferença }=\sqrt{14{,}24}=3{,}775\\ (\text{minutos}).ãç
  • Queremos P(\bar X_1-\bar X_2>0). Padronizando:
Z=\frac{(\bar X_1-\bar X_2)-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\mathrm{Var}(\bar X_1-\bar X_2)}}.
Para o valor 0 temos
Z=\frac{0-(-7)}{3{,}775}=\frac{7}{3{,}775}\approx 1{,}8536.
  • Assim
P(\bar X_1>\bar X_2)=P\big(Z>1{,}8536\big)=1-\Phi(1{,}8536)\approx 1-0{,}9681\approx 0{,}0319.
Explicando: \Phi é a função distribuição da normal padrão; a área acima de 1{,}8536 é cerca de 0{,}0319, ou 3{,}19\%.

Passo 4

Interpretação didática e comentário sobre (b):
  • O resultado de (a) diz que, mesmo amostrando 16 atendimentos de 1 e 25 de 2, se as médias verdadeiras são \mu_1=18 e \mu_2=25 então a chance de a média amostral de 1 exceder a de 2 é muito baixa: aproximadamente 3{,}2\%.
  • Em linguagem de prova/estatística: a diferença de médias ( 7 minutos) é grande comparada ao erro padrão da diferença ( \approx 3{,}775), o que produz um Z de +1{,}85. Isso mostra que esperar que a média amostral do funcionário 1 seja maior que a do 2 é pouco plausível — em termos práticos, é pouco provável que a ordem das médias se inverta por mero acaso nas amostras dadas as variabilidades assumidas.
  • Em termos de decisão: se alguém observar numa prova que \bar X_1>\bar X_2, isso seria um evento raro sob o modelo dado (significância \approx 0{,}032), então desconfiaríamos que houve flutuação rara ou que alguma suposição (médias/populações) não bate com a realidade.

Passo 5

Preparação para (c)(i): distribuição das variâncias amostrais e método para P(S_2^2<S_1^2)
  • Para uma amostra de tamanho n de uma população normal com variância \sigma^2, o estatístico
\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{\,n-1},
onde \chi^2_{\,\nu} é a qui‑quadrado com \nu graus de liberdade. Isso é uma propriedade padrão: a soma dos quadrados centrados, normalizada pela variância, tem distribuição qui‑quadrado.
  • Considere U_1=\dfrac{(n_1-1)S_1^2}{\sigma_1^2}\sim\chi^2_{15} e U_2=\dfrac{(n_2-1)S_2^2}{\sigma_2^2}\sim\chi^2_{24}, independentes.
  • Formamos a razão
F=\frac{U_2/24}{U_1/15} \sim F_{24,15}.
Agora observe a simplificação:
F=\frac{S_2^2/\sigma_2^2}{S_1^2/\sigma_1^2}=\frac{S_2^2}{S_1^2}\cdot\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}.
Portanto
\frac{S_2^2}{S_1^2}=\frac{\sigma_2^2}{\sigma_1^2}\,F.
Queremos P(S_2^2<S_1^2), isto é P\!\big(\dfrac{S_2^2}{S_1^2}<1\big). Substituindo:
P\!\left(\frac{S_2^2}{S_1^2}<1\right)=P\!\left(F<\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}\right).

Passo 6

Cálculo numérico para (c)(i) usando \sigma_1=8, \sigma_2=16:
  • A razão das variâncias populacionais é
\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}=\frac{8^2}{16^2}=\frac{64}{256}=0{,}25.
  • Assim precisamos de P(F_{24,15}<0{,}25).
  • Usamos a relação entre F e a Beta: se F\sim F_{d_1,d_2} então
P(F<c)=P\!\left(B<\frac{d_1 c}{d_1 c + d_2}\right)
onde B\sim\mathrm{Beta}(d_1/2,d_2/2). Aqui d_1=24 e d_2=15, com c=0{,}25. Então
\frac{d_1 c}{d_1 c + d_2}=\frac{24\cdot 0{,}25}{24\cdot 0{,}25+15}=\frac{6}{21}=\frac{2}{7}\approx 0{,}285714.
  • Assim P(F_{24,15}<0{,}25)=P\big(\mathrm{Beta}(12,7)<0{,}285714\big).
  • Para avaliar numericamente essa Beta CDF podemos aproximar a Beta por normal (quando os parâmetros não são pequenos isso é razoável). A Beta \mathrm{Beta}(a,b) tem média \mu=\dfrac{a}{a+b} e variância \dfrac{ab}{(a+b)^2(a+b+1)}.

    Aqui a=12, b=7:
\mu=\frac{12}{19}\approx 0{,}631579,\qquad \sigma_{\text{Beta}}=\sqrt{\frac{12\cdot 7}{19^2\cdot 20}}\approx 0{,}1078.
O ponto x=2/7\approx 0{,}285714 está muito abaixo da média; o z-padronizado é
z\approx\frac{0{,}285714-0{,}631579}{0{,}1078}\approx -3{,}206.
Pela normal padrão, P(Z<-3{,}206)\approx 0{,}00066.
  • Portanto
P\big(S_2^2<S_1^2\big)\approx 0{,}00066\quad\text{(quando }\sigma_1=8,\\ \sigma_2=16\text{)}.
Interpretação rápida: é extremamente improvável que a variância amostral do funcionário 2 seja menor que a do 1, dado que a variância populacional do 2 é 4 vezes a do 1.

Passo 7

Resposta ao item (c)(ii) — caso dos desvios‑padrão amostrais observados:
  • Se os desvios‑padrão amostrais observados foram exatamente s_1=8 e s_2=16, então o evento S_2^2<S_1^2 não ocorreu na amostra observada (porque 16>8 implica S_2^2>S_1^2 para os valores observados). Logo, condicionando aos valores observados, a probabilidade de que S_2^2<S_1^2 seja verdadeira nos dados observados é 0.
  • Observação didática: a resposta 0 é lógica porque, uma vez observados os valores amostrais, o evento é verdade ou falso deterministicoamente; a probabilidade empírica (condicionada aos dados) é 0 ou 1 conforme os números observados.

Resposta

P(\bar X_1>\bar X_2)\approx 0{,}0319.
A diferença é pouco provável de inverter por acaso: somente cerca de 3{,}2\% de chance, ou seja, é improvável que a média do funcionário 1 supere a do 2 dados os parâmetros assumidos.
P(S_2^2<S_1^2)\approx 0{,}00066 (quando \sigma_1=8,\\ \sigma_2=16).
Se os desvios‑padrão amostrais observados foram s_1=8 e s_2=16, então P(S_2^2<S_1^2)=0.

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