Após coletar os dados e realizar os cálculos, um atuário chega ao intervalo de confiança [850, 1.150] para o valor médio de sinistros, com 95 \% de confiança. Avalie a afirmação: “Existe uma probabilidade de 95% de que a verdadeira média populacional esteja contida entre 850 e 1.150.” Ela está correta? Justifique sua resposta.
11.4) Mantendo todos os outros fatores constantes (mesma variância e mesma média amostral), descreva o que acontece com a amplitude (largura) do intervalo de confiança quando:

Passo 1

O enunciado nos dá um intervalo de confiança para a média de sinistros igual a [850,\,1150] com nível de confiança 95\%. As perguntas são:
  • Avaliar a afirmação: “Existe uma probabilidade de 95\% de que a verdadeira média populacional esteja contida entre 850 e 1.150.” Essa afirmação está correta?
  • (Questão 11.4) Mantendo todos os outros fatores constantes (mesma variância e mesma média amostral), descrever o que acontece com a amplitude (largura) do intervalo de confiança quando se alteram fatores relevantes (por exemplo: nível de confiança, tamanho da amostra, variância, uso de t vs z, etc.).
    Informações explícitas que temos:
  • Intervalo observado: [850,\,1150].
  • Nível de confiança: 95\%.
  • Da amplitude do intervalo podemos extrair o centro e a metade da amplitude:
    • Centro (estimativa pontual) =\dfrac{850+1150}{2}=1000.
    • Metade da amplitude (erro máximo) =150.
      Esses são os dados que usaremos para explicar o conceito e para responder o que acontece com a largura do intervalo quando mudam os fatores.

Passo 2

O que é exatamente um intervalo de confiança (visão frequencista), em fórmula e em palavras:
  • Fórmula (caso de variância conhecida, para fixar ideias):
\bar X \pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar X é a média amostral (estimador de \mu);
  • \sigma é o desvio padrão populacional (assumido conhecido neste modelo);
  • n é o tamanho da amostra;
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão associado ao nível de significância \alpha ( z_{0,975}\approx 1{,}96 para 95\%).
  • Interpretação probabilística correta (frequencista): o procedimento aleatório "coletar uma amostra e construir o intervalo [L(X),U(X)]" satisfaz
P\bigl(L(X)\le \mu \le U(X)\bigr)=1-\alpha.
Isto significa que, antes de coletar a amostra, a probabilidade de que o intervalo gerado pelo procedimento contenha o verdadeiro \mu é 1-\alpha. Se repetirmos o experimento muitas vezes, cerca de 100(1-\alpha)\% dos intervalos construídos conterão \mu.

Passo 3

Por que a afirmação dada é incorreta (explicação passo a passo, sem pular etapas):
  • Depois que a amostra foi coletada e o intervalo [850,\,1150] foi obtido, os números 850 e 1150 são valores fixos — não são mais variáveis aleatórias. O parâmetro \mu também é um valor fixo (desconhecido).
  • Em probabilidade clássica, uma afirmativa do tipo "a probabilidade de \mu estar em [850,1150] é 0{,}95" traduziria que \mu é uma variável aleatória com uma distribuição — mas no quadro frequencista \mu é fixo e não tem distribuição.
  • Assim, após observar a amostra, o evento " \mu está em [850,1150]" já ou aconteceu ou não aconteceu; a probabilidade desse evento, condicionada à amostra observada, é 0 ou 1, embora desconhecida para nós. Portanto afirmar numericamente que a probabilidade é 95\% é logicamente incorreto no formalismo frequentista.
  • A frase correta (frequencista e precisa) é: “Temos 95\% de confiança no procedimento; isto é, o método usado para construir [850,1150] tem probabilidade 95\% de produzir um intervalo que contenha a verdadeira média \mu.” Em linguagem menos formal costuma-se dizer "Estamos 95\% confiantes de que \mu está em [850,1150]", o que é aceitável coloquialmente, mas tecnicamente a frase de probabilidade literal está errada.
  • Observação sobre inferência bayesiana: se em vez do quadro frequentista um atuário usasse inferência bayesiana com uma distribuição a priori para \mu, então poderia construir um intervalo credível (credible interval) e afirmar que "há 95\% de probabilidade, segundo a posteriori, de \mu estar em [850,1150]". Ou seja, a afirmação é correta em contexto bayesiano, mas não no contexto frequencista típico de intervalos de confiança.

Passo 4

Ilustração numérica curta para fixar a intuição
  • Do intervalo dado pegamos o centro e a metade da largura:
\text{centro}=\bar x =1000,\qquad \text{metade da amplitude}=150.
  • Se estivéssemos no caso de variância conhecida, a metade da amplitude (erro amostral) satisfaz
150 = z_{0{,}975}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \quad\Rightarrow\quad \frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{150}{1{,}96}\approx 76{,}53.
Isto mostra como a metade da largura se relaciona com \sigma/\sqrt n; não é preciso conhecer \sigma e n separadamente para ver essa relação, só a combinação \sigma/\sqrt n.

Passo 5

Agora a parte 11.4 — o que acontece com a amplitude (largura) do intervalo de confiança quando mudamos fatores relevantes?
Primeiro a expressão da largura (amplitude total) no caso de variância conhecida:
\text{largura} = 2\;z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Definições:
  • \text{largura} é o comprimento do intervalo U-L;
  • z_{\alpha/2} depende do nível de confiança 1-\alpha;
  • \sigma é o desvio padrão populacional;
  • n é o tamanho da amostra.
    Usando essa expressão, descrevo os efeitos (mantendo, quando pedido, a variância e a média amostral constantes):
(a) Aumentar o nível de confiança (por exemplo, de 95\% para 99\%):
  • z_{\alpha/2} aumenta (por exemplo z_{0{,}975}\approx1{,}96 para z_{0{,}995}\approx2{,}576).
  • Logo, \text{largura} aumenta. Conclusão: maior confiança → intervalo mais largo.
(b) Aumentar o tamanho da amostra n (mantendo \sigma constante):
  • A largura varia como 1/\sqrt{n}.
  • Se duplicar n, a largura é multiplicada por 1/\sqrt{2}\approx0{,}707 (ou seja, diminui cerca de 29{,}3\%).
  • Se quadrupar n, a largura cai para metade. Conclusão: maior n → intervalo mais estreito (melhor precisão).
(c) Aumentar a variância populacional \sigma^2 (ou seja, \sigma aumenta), com n fixo:
  • A largura é proporcional a \sigma, então aumenta linearmente com \sigma.
  • Dobrar \sigma dobra a largura. Conclusão: mais variabilidade → intervalo mais largo.
(d) Usar distribuição t (quando \sigma é desconhecido e especialmente para pequeno n) versus usar z:
  • O quantil t_{n-1,\alpha/2} é maior que z_{\alpha/2} para amostras pequenas, então a largura do intervalo baseado em t é maior.
  • À medida que n cresce, t_{n-1,\alpha/2}\to z_{\alpha/2} e a diferença some. Conclusão: estimar \sigma e usar t aumenta a largura quando n é pequeno.
(e) Mudar a média amostral \bar X:
  • A largura do intervalo não depende de \bar X; mudar \bar X desloca o intervalo (o centro) mas não altera sua amplitude. Conclusão: \bar X afeta posição, não largura.

Passo 6

Resumo prático e um jeito de lembrar na hora da prova (dicas de bolso):
  • “Mais confiança → paga-se com largura maior.”
  • “Mais dados (maior n) → intervalo encolhe como 1/\sqrt{n}.”
  • “Mais ruído (maior \sigma) → intervalo cresce proporcionalmente.”
  • “Quando \sigma é desconhecido e n pequeno, usar t dá intervalo mais largo.”
  • Em provas: escreva sempre a fórmula da largura e explique quais termos mudam; isso costuma garantir pontos.

Resposta

Não — a afirmação está incorreta no sentido frequentista; o correto é dizer que o procedimento que produziu [850,\,1150] tem 95\% de probabilidade de gerar um intervalo que contenha \mu (ou, em linguagem coloquial, “estamos 95\% confiantes” que \mu esteja no intervalo).\n
A largura do intervalo responde assim (mantendo outros fatores constantes): aumentar o nível de confiança \Rightarrow largura aumenta; aumentar n \Rightarrow largura diminui aproximadamente como 1/\sqrt{n}; aumentar a variância \sigma^2 ( \Rightarrow \sigma maior) \Rightarrow largura aumenta proporcionalmente; usar t em vez de z (quando \sigma é desconhecido, n pequeno) \Rightarrow largura aumenta; mudar \bar X \Rightarrow não altera a largura (só desloca o intervalo).

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