Após coletar os dados e realizar os cálculos, um atuário chega ao intervalo de confiança [850, 1.150] para o valor médio de sinistros, com
de confiança. Avalie a afirmação: “Existe uma probabilidade de 95% de que a verdadeira média populacional esteja contida entre 850 e 1.150.” Ela está correta? Justifique sua resposta.
11.4) Mantendo todos os outros fatores constantes (mesma variância e mesma média amostral), descreva o que acontece com a amplitude (largura) do intervalo de confiança quando:
11.4) Mantendo todos os outros fatores constantes (mesma variância e mesma média amostral), descreva o que acontece com a amplitude (largura) do intervalo de confiança quando:
Passo 1
O enunciado nos dá um intervalo de confiança para a média de sinistros igual a
com nível de confiança
. As perguntas são:
- Avaliar a afirmação: “Existe uma probabilidade de
de que a verdadeira média populacional esteja contida entre e .” Essa afirmação está correta? - (Questão 11.4) Mantendo todos os outros fatores constantes (mesma variância e mesma média amostral), descrever o que acontece com a amplitude (largura) do intervalo de confiança quando se alteram fatores relevantes (por exemplo: nível de confiança, tamanho da amostra, variância, uso de
vs , etc.).
Informações explícitas que temos: - Intervalo observado:
. - Nível de confiança:
. - Da amplitude do intervalo podemos extrair o centro e a metade da amplitude:
- Centro (estimativa pontual)
. - Metade da amplitude (erro máximo)
.
Esses são os dados que usaremos para explicar o conceito e para responder o que acontece com a largura do intervalo quando mudam os fatores.
- Centro (estimativa pontual)
Passo 2
O que é exatamente um intervalo de confiança (visão frequencista), em fórmula e em palavras:
- Fórmula (caso de variância conhecida, para fixar ideias):
onde:
-
é a média amostral (estimador de ); -
é o desvio padrão populacional (assumido conhecido neste modelo); -
é o tamanho da amostra; -
é o quantil da distribuição normal padrão associado ao nível de significância ( para ). - Interpretação probabilística correta (frequencista): o procedimento aleatório "coletar uma amostra e construir o intervalo
" satisfaz
Isto significa que, antes de coletar a amostra, a probabilidade de que o intervalo gerado pelo procedimento contenha o verdadeiro
é
. Se repetirmos o experimento muitas vezes, cerca de
dos intervalos construídos conterão
.
Passo 3
Por que a afirmação dada é incorreta (explicação passo a passo, sem pular etapas):
- Depois que a amostra foi coletada e o intervalo
foi obtido, os números e são valores fixos — não são mais variáveis aleatórias. O parâmetro também é um valor fixo (desconhecido). - Em probabilidade clássica, uma afirmativa do tipo "a probabilidade de
estar em é " traduziria que é uma variável aleatória com uma distribuição — mas no quadro frequencista é fixo e não tem distribuição. - Assim, após observar a amostra, o evento "
está em " já ou aconteceu ou não aconteceu; a probabilidade desse evento, condicionada à amostra observada, é ou , embora desconhecida para nós. Portanto afirmar numericamente que a probabilidade é é logicamente incorreto no formalismo frequentista. - A frase correta (frequencista e precisa) é: “Temos
de confiança no procedimento; isto é, o método usado para construir tem probabilidade de produzir um intervalo que contenha a verdadeira média .” Em linguagem menos formal costuma-se dizer "Estamos confiantes de que está em ", o que é aceitável coloquialmente, mas tecnicamente a frase de probabilidade literal está errada. - Observação sobre inferência bayesiana: se em vez do quadro frequentista um atuário usasse inferência bayesiana com uma distribuição a priori para
, então poderia construir um intervalo credível (credible interval) e afirmar que "há de probabilidade, segundo a posteriori, de estar em ". Ou seja, a afirmação é correta em contexto bayesiano, mas não no contexto frequencista típico de intervalos de confiança.
Passo 4
Ilustração numérica curta para fixar a intuição
- Do intervalo dado pegamos o centro e a metade da largura:
- Se estivéssemos no caso de variância conhecida, a metade da amplitude (erro amostral) satisfaz
Isto mostra como a metade da largura se relaciona com
; não é preciso conhecer
e
separadamente para ver essa relação, só a combinação
.
Passo 5
Agora a parte 11.4 — o que acontece com a amplitude (largura) do intervalo de confiança quando mudamos fatores relevantes?
Primeiro a expressão da largura (amplitude total) no caso de variância conhecida:
Primeiro a expressão da largura (amplitude total) no caso de variância conhecida:
Definições:
-
é o comprimento do intervalo ; -
depende do nível de confiança ; -
é o desvio padrão populacional; -
é o tamanho da amostra.
Usando essa expressão, descrevo os efeitos (mantendo, quando pedido, a variância e a média amostral constantes):
(a) Aumentar o nível de confiança (por exemplo, de
para
):
-
aumenta (por exemplo para ). - Logo,
aumenta. Conclusão: maior confiança → intervalo mais largo.
(b) Aumentar o tamanho da amostra
(mantendo
constante):
- A largura varia como
. - Se duplicar
, a largura é multiplicada por (ou seja, diminui cerca de ). - Se quadrupar
, a largura cai para metade. Conclusão: maior → intervalo mais estreito (melhor precisão).
(c) Aumentar a variância populacional
(ou seja,
aumenta), com
fixo:
- A largura é proporcional a
, então aumenta linearmente com . - Dobrar
dobra a largura. Conclusão: mais variabilidade → intervalo mais largo.
(d) Usar distribuição
(quando
é desconhecido e especialmente para pequeno
) versus usar
:
- O quantil
é maior que para amostras pequenas, então a largura do intervalo baseado em é maior. - À medida que
cresce, e a diferença some. Conclusão: estimar e usar aumenta a largura quando é pequeno.
(e) Mudar a média amostral
:
- A largura do intervalo não depende de
; mudar desloca o intervalo (o centro) mas não altera sua amplitude. Conclusão: afeta posição, não largura.
Passo 6
Resumo prático e um jeito de lembrar na hora da prova (dicas de bolso):
- “Mais confiança → paga-se com largura maior.”
- “Mais dados (maior
) → intervalo encolhe como .” - “Mais ruído (maior
) → intervalo cresce proporcionalmente.” - “Quando
é desconhecido e pequeno, usar dá intervalo mais largo.” - Em provas: escreva sempre a fórmula da largura e explique quais termos mudam; isso costuma garantir pontos.
Resposta
Não — a afirmação está incorreta no sentido frequentista; o correto é dizer que o procedimento que produziu
tem
de probabilidade de gerar um intervalo que contenha
(ou, em linguagem coloquial, “estamos
confiantes” que
esteja no intervalo).\n
A largura do intervalo responde assim (mantendo outros fatores constantes): aumentar o nível de confiança largura aumenta; aumentar
largura diminui aproximadamente como
; aumentar a variância
(
maior)
largura aumenta proporcionalmente; usar
em vez de
(quando
é desconhecido,
pequeno)
largura aumenta; mudar
não altera a largura (só desloca o intervalo).
A largura do intervalo responde assim (mantendo outros fatores constantes): aumentar o nível de confiança