Considere uma amostra de uma população N\left(\mu, \sigma^{2}\right). Se o objetivo é construir um intervalo para a média \mu, explique por que a quantidade Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma / \sqrt{n}} deixa de ser pivotal se o valor de \sigma^{2} for desconhecido.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de uma população \,N\big(\mu,\sigma^{2}\big)\, e pede para construir um intervalo para a média \mu. Ele pergunta por que a quantidade
Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}
deixa de ser pivotal se o valor de \sigma^{2} for desconhecido.
Informações relevantes fornecidas:
  • A amostra vem de uma normal com média \mu e variância \sigma^{2}.
  • A quantidade considerada é Z=\dfrac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}.
  • O objetivo é entender o efeito de \sigma^{2} ser desconhecido sobre o caráter “pivotal” de Z.

Passo 2

O que é um “pivotal quantity” (quantidade pivotal)?
  • Definição: uma quantidade Q(X,\theta) (função da amostra X e dos parâmetros \theta) é chamada pivotal se a distribuição de Q não depende de nenhum parâmetro desconhecido.
  • Observação prática importante: para usar um pivot na construção de um intervalo de confiança, precisamos de uma expressão que possamos avaliar com os dados observados (ou seja, que possamos calcular numericamente a partir da amostra). Se a expressão envolver um parâmetro desconhecido que não pode ser substituído por algo observável, não serve diretamente para construir o intervalo na prática.
Vou ilustrar com o caso em que \sigma é conhecido e depois com \sigma desconhecido.

Passo 3

Caso \sigma conhecido — por que Z é pivotal
  • Propriedade da média amostral: se X_1,\dots,X_n são i.i.d. \,N(\mu,\sigma^2)\, então
\bar{X}\sim N\!\left(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n}\right).
  • Padronizando \bar{X} com a verdadeira \sigma obtemos
Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1).
  • A distribuição de Z é a normal padrão e não depende nem de \mu nem de \sigma. Portanto, quando \sigma é conhecido, Z é um pivot legítimo: sua distribuição é completamente conhecida e podemos usar quantis de N(0,1) para construir intervalos de confiança para \mu.

Passo 4

O que muda quando \sigma^{2} é desconhecido?
  • Se \sigma é desconhecido, a expressão Z=\dfrac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} contém um parâmetro não observado ( \sigma). Assim, com os dados observados não é possível calcular numericamente Z porque falta o valor de \sigma.
  • Há duas coisas a distinguir:
    1. Como quantidade simbólica (ou aleatória) definida com a verdadeira \sigma, Z ainda teria distribuição N(0,1) — essa distribuição formal não depende de \sigma. Mas essa quantidade não é um “estatístico observável” porque não podemos avaliá-la a partir da amostra sem conhecer \sigma.
    2. Para fins práticos (construir intervalos), precisamos de uma quantidade que possamos calcular com os dados. Z falha nisso quando \sigma é desconhecido. Por isso, na prática, ele “deixa de ser útil como pivot”: não podemos usar os quantis de Z para obter um intervalo sem substituir \sigma por algo estimado.
Em resumo: o problema não é que a distribuição teórica de Z passe a depender de \sigma (ela não depende), mas sim que Z não é computável a partir da amostra quando \sigma é desconhecido — logo não serve diretamente como pivot prático.

Passo 5

O conserto prático: substituir \sigma por S e obter a distribuição t
  • Defina a variância amostral não viciada
S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\bar{X})^{2}.
  • Propriedades (caso normalidade): \bar{X} e S^{2} são independentes e
\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}\sim \chi^{2}_{n-1}.
  • Ao substituir \sigma por S obtemos
T=\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}.
  • Usando a independência e a relação com \chi^{2} resulta-se que
T\sim t_{\,n-1},
ou seja, T tem a distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade, que não depende de \mu nem de \sigma. Assim T é um pivot observável (pode ser calculado a partir dos dados) e é a quantidade que usamos para construir intervalos de confiança para \mu quando \sigma é desconhecido.

Passo 6

Resumo (a resposta direta, didática e sem enrolação)
  • Quando \sigma é desconhecido, a expressão Z=\dfrac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} depende de um parâmetro que não se conhece e, portanto, não pode ser avaliada a partir da amostra — isto a torna inútil na prática para construir intervalos (não é um estatístico observável).
  • Para resolver isso substitui-se \sigma pela estimativa S; o novo quociente
T=\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}
tem distribuição t_{\,n-1} (independente de \mu,\sigma) e é o pivot apropriado e utilizável quando \sigma^{2} é desconhecida.
Força aí — a ideia-chave é: pivot útil = distribuição conhecida e, principalmente, calculável a partir da amostra; Z perde a parte “calculável” quando \sigma é desconhecido, por isso usamos T.

Resposta

Porque, se \sigma^{2} é desconhecido, a quantidade Z=\dfrac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} contém o parâmetro \sigma e não pode ser avaliada a partir da amostra (não é um estatístico observável), de modo que não serve na prática para construir intervalos. Em vez disso substitui-se \sigma por S e usa-se
T=\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t_{\,n-1},
que tem distribuição conhecida e é o pivot utilizável quando \sigma^{2} é desconhecida.

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