Considere uma amostra de uma população
. Se o objetivo é construir um intervalo para a média
, explique por que a quantidade
deixa de ser pivotal se o valor de
for desconhecido.
Passo 1
O enunciado dá uma amostra de uma população
e pede para construir um intervalo para a média
. Ele pergunta por que a quantidade
deixa de ser pivotal se o valor de
for desconhecido.
Informações relevantes fornecidas:
- A amostra vem de uma normal com média
e variância . - A quantidade considerada é
. - O objetivo é entender o efeito de
ser desconhecido sobre o caráter “pivotal” de .
Passo 2
O que é um “pivotal quantity” (quantidade pivotal)?
- Definição: uma quantidade
(função da amostra e dos parâmetros ) é chamada pivotal se a distribuição de não depende de nenhum parâmetro desconhecido. - Observação prática importante: para usar um pivot na construção de um intervalo de confiança, precisamos de uma expressão que possamos avaliar com os dados observados (ou seja, que possamos calcular numericamente a partir da amostra). Se a expressão envolver um parâmetro desconhecido que não pode ser substituído por algo observável, não serve diretamente para construir o intervalo na prática.
Vou ilustrar com o caso em que
é conhecido e depois com
desconhecido.
Passo 3
Caso
conhecido — por que
é pivotal
- Propriedade da média amostral: se
são i.i.d. então
- Padronizando
com a verdadeira obtemos
- A distribuição de
é a normal padrão e não depende nem de nem de . Portanto, quando é conhecido, é um pivot legítimo: sua distribuição é completamente conhecida e podemos usar quantis de para construir intervalos de confiança para .
Passo 4
O que muda quando
é desconhecido?
- Se
é desconhecido, a expressão contém um parâmetro não observado ( ). Assim, com os dados observados não é possível calcular numericamente porque falta o valor de . - Há duas coisas a distinguir:
- Como quantidade simbólica (ou aleatória) definida com a verdadeira
, ainda teria distribuição — essa distribuição formal não depende de . Mas essa quantidade não é um “estatístico observável” porque não podemos avaliá-la a partir da amostra sem conhecer . - Para fins práticos (construir intervalos), precisamos de uma quantidade que possamos calcular com os dados.
falha nisso quando é desconhecido. Por isso, na prática, ele “deixa de ser útil como pivot”: não podemos usar os quantis de para obter um intervalo sem substituir por algo estimado.
- Como quantidade simbólica (ou aleatória) definida com a verdadeira
Em resumo: o problema não é que a distribuição teórica de
passe a depender de
(ela não depende), mas sim que
não é computável a partir da amostra quando
é desconhecido — logo não serve diretamente como pivot prático.
Passo 5
O conserto prático: substituir
por
e obter a distribuição
- Defina a variância amostral não viciada
- Propriedades (caso normalidade):
e são independentes e
- Ao substituir
por obtemos
- Usando a independência e a relação com
resulta-se que
ou seja,
tem a distribuição t de Student com
graus de liberdade, que não depende de
nem de
. Assim
é um pivot observável (pode ser calculado a partir dos dados) e é a quantidade que usamos para construir intervalos de confiança para
quando
é desconhecido.
Passo 6
Resumo (a resposta direta, didática e sem enrolação)
- Quando
é desconhecido, a expressão depende de um parâmetro que não se conhece e, portanto, não pode ser avaliada a partir da amostra — isto a torna inútil na prática para construir intervalos (não é um estatístico observável). - Para resolver isso substitui-se
pela estimativa ; o novo quociente
tem distribuição
(independente de
) e é o pivot apropriado e utilizável quando
é desconhecida.
Força aí — a ideia-chave é: pivot útil = distribuição conhecida e, principalmente, calculável a partir da amostra;
perde a parte “calculável” quando
é desconhecido, por isso usamos
.
Resposta
Porque, se
é desconhecido, a quantidade
contém o parâmetro
e não pode ser avaliada a partir da amostra (não é um estatístico observável), de modo que não serve na prática para construir intervalos. Em vez disso substitui-se
por
e usa-se
que tem distribuição conhecida e é o pivot utilizável quando
é desconhecida.