Mantendo todos os outros fatores constantes (mesma variância e mesma média amostral), descreva o que acontece com a amplitude (largura) do intervalo de confiança quando:
Aumentamos o nível de confiança (ex: de
para
).
Aumentamos o nível de confiança (ex: de
Passo 1
O que o enunciado pede: descrever o que acontece com a amplitude (largura) do intervalo de confiança quando aumentamos o nível de confiança (por exemplo, de
para
), mantendo todos os outros fatores constantes.
Informações relevantes dadas ou assumidas (peguei isto do enunciado):
Informações relevantes dadas ou assumidas (peguei isto do enunciado):
- A média amostral
permanece a mesma. - A variância (ou desvio-padrão) permanece a mesma.
- Pressupõe‑se também que o tamanho da amostra
permanece constante (o enunciado diz “todos os outros fatores constantes”).
Passo 2
A fórmula padrão (caso o desvio-padrão populacional
seja conhecido) para um intervalo de confiança para a média é:
Expliquei cada símbolo:
-
é a média amostral (o centro do intervalo). -
é o desvio-padrão populacional (relacionado à variância que o enunciado mantém fixa). -
é o tamanho da amostra. -
é o nível de significância, definido por (nível de confiança). Por exemplo, para de confiança tem-se ; para tem-se . -
é o quantil da distribuição normal padrão tal que . É o chamado valor crítico (por exemplo, para , para ).
Definição útil: a meia‑amplitude (margem de erro) é
e a amplitude (largura) total do intervalo é
Passo 3
Relação entre nível de confiança e
: aumentar o nível de confiança reduz
(porque
confiança) e, portanto, aumenta
. Em palavras: quanto mais confiança se quer, maior é o quantil crítico da normal que garante aquela probabilidade de cobertura. Como
e
estão fixos, a única coisa que muda na expressão da largura é
. Logo:
Portanto, aumentando o nível de confiança,
aumenta e a largura do intervalo aumenta.
Passo 4
Exemplo numérico concreto (para ver os números na prática): tome
,
e
(só para ilustrar a largura; a média não influenciará a largura). Então
e a meia‑amplitude é
. Valores típicos de
:
- Para
de confiança: . Meia‑amplitude . Largura total . - Para
de confiança: . Meia‑amplitude . Largura total .
Comparando: ao passar depara a meia‑amplitude e a largura aumentam (no exemplo a largura passa de para ). A média permanece , ou seja, o intervalo fica mais largo em torno do mesmo centro.
Passo 5
Caso
seja desconhecido usa‑se a distribuição
com
graus de liberdade:
onde
é o desvio‑padrão amostral e
é o quantil
. O comportamento é análogo: aumentar o nível de confiança aumenta
, portanto aumenta a largura do intervalo. Para amostras grandes
aproxima‑se de
.
Passo 6
Intuição simples e útil para a prova: querer mais confiança é como querer garantir mais “folga” para ter certeza que o verdadeiro parâmetro está dentro do intervalo — essa folga vem na forma de uma janela mais larga. Logo, tudo o mais fixo, aumentar a confiança = intervalo mais largo. Isso é uma resposta direta que cai bem em prova; se pedirem, explique com a fórmula da largura para justificar matematicamente.
Resposta
A amplitude do intervalo aumenta: ao elevar o nível de confiança (por exemplo de
para
) o valor crítico
(ou
) aumenta, e como a largura é
(ou análogo com
e
), o intervalo fica mais largo.