Mantendo todos os outros fatores constantes (mesma variância e mesma média amostral), descreva o que acontece com a amplitude (largura) do intervalo de confiança quando:
Aumentamos o nível de confiança (ex: de 90 \% para 99 \% ).

Passo 1

O que o enunciado pede: descrever o que acontece com a amplitude (largura) do intervalo de confiança quando aumentamos o nível de confiança (por exemplo, de 90\% para 99\%), mantendo todos os outros fatores constantes.
Informações relevantes dadas ou assumidas (peguei isto do enunciado):
  • A média amostral \bar{x} permanece a mesma.
  • A variância (ou desvio-padrão) permanece a mesma.
  • Pressupõe‑se também que o tamanho da amostra n permanece constante (o enunciado diz “todos os outros fatores constantes”).

Passo 2

A fórmula padrão (caso o desvio-padrão populacional \sigma seja conhecido) para um intervalo de confiança para a média é:
\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Expliquei cada símbolo:
  • \bar{x} é a média amostral (o centro do intervalo).
  • \sigma é o desvio-padrão populacional (relacionado à variância que o enunciado mantém fixa).
  • n é o tamanho da amostra.
  • \alpha é o nível de significância, definido por \alpha=1- (nível de confiança). Por exemplo, para 90\% de confiança tem-se \alpha=0,10; para 99\% tem-se \alpha=0,01.
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão tal que \Pr(Z>z_{\alpha/2})=\alpha/2. É o chamado valor crítico (por exemplo, z_{0,05} para 90\%, z_{0,005} para 99\%).
Definição útil: a meia‑amplitude (margem de erro) é
E = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
e a amplitude (largura) total do intervalo é
\text{Largura} = 2E = 2\,z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.

Passo 3

Relação entre nível de confiança e z_{\alpha/2}: aumentar o nível de confiança reduz \alpha (porque \alpha=1- confiança) e, portanto, aumenta z_{\alpha/2}. Em palavras: quanto mais confiança se quer, maior é o quantil crítico da normal que garante aquela probabilidade de cobertura. Como \sigma e n estão fixos, a única coisa que muda na expressão da largura é z_{\alpha/2}. Logo:
\text{Largura} \propto z_{\alpha/2}.
Portanto, aumentando o nível de confiança, z_{\alpha/2} aumenta e a largura do intervalo aumenta.

Passo 4

Exemplo numérico concreto (para ver os números na prática): tome \sigma=10, n=25 e \bar{x}=100 (só para ilustrar a largura; a média não influenciará a largura). Então \sqrt{n}=5 e a meia‑amplitude é E=z_{\alpha/2}\cdot\frac{10}{5}=2\,z_{\alpha/2}. Valores típicos de z_{\alpha/2}:
  • Para 90\% de confiança: z_{\alpha/2}\approx 1,645. Meia‑amplitude E_{90}=2\cdot 1,645=3,29. Largura total =6,58.
  • Para 99\% de confiança: z_{\alpha/2}\approx 2,576. Meia‑amplitude E_{99}=2\cdot 2,576=5,152. Largura total =10,304.
    Comparando: ao passar de 90\% para 99\% a meia‑amplitude e a largura aumentam (no exemplo a largura passa de 6,58 para 10,304). A média \bar{x} permanece 100, ou seja, o intervalo fica mais largo em torno do mesmo centro.

Passo 5

Caso \sigma seja desconhecido usa‑se a distribuição t com n-1 graus de liberdade:
\bar{x}\pm t_{\alpha/2,\,n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}},
onde s é o desvio‑padrão amostral e t_{\alpha/2,\,n-1} é o quantil t. O comportamento é análogo: aumentar o nível de confiança aumenta t_{\alpha/2,\,n-1}, portanto aumenta a largura do intervalo. Para amostras grandes t_{\alpha/2,\,n-1} aproxima‑se de z_{\alpha/2}.

Passo 6

Intuição simples e útil para a prova: querer mais confiança é como querer garantir mais “folga” para ter certeza que o verdadeiro parâmetro está dentro do intervalo — essa folga vem na forma de uma janela mais larga. Logo, tudo o mais fixo, aumentar a confiança = intervalo mais largo. Isso é uma resposta direta que cai bem em prova; se pedirem, explique com a fórmula da largura para justificar matematicamente.

Resposta

A amplitude do intervalo aumenta: ao elevar o nível de confiança (por exemplo de 90\% para 99\%) o valor crítico z_{\alpha/2} (ou t_{\alpha/2,\,n-1}) aumenta, e como a largura é 2\,z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} (ou análogo com t e s), o intervalo fica mais largo.

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