Mantendo todos os outros fatores constantes (mesma variância e mesma média amostral), descreva o que acontece com a amplitude (largura) do intervalo de confiança quando:
Aumentamos o tamanho da amostra (n).
Aumentamos o tamanho da amostra (n).
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pergunta: descreva o que acontece com a amplitude (largura) do intervalo de confiança quando aumentamos o tamanho da amostra
, mantendo os outros fatores constantes (mesma variância e mesma média amostral). - Informações relevantes (retiradas do enunciado):
- A média amostral
permanece a mesma. - A variância (ou desvio padrão populacional
, ou a estimativa amostral ) permanece a mesma. - O nível de confiança (logo o valor crítico correspondente) é mantido constante.
- A única coisa que muda é o tamanho da amostra
.
- A média amostral
Passo 2
Fórmula do intervalo de confiança para a média (caso mais simples: variância populacional conhecida). Vou apresentar a fórmula, explicar cada símbolo e mostrar como a largura aparece nela.
Explicando cada símbolo:
-
é a média amostral (aqui mantida constante). -
é o valor crítico da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança (por exemplo, para 95% é ) — este valor é mantido constante porque o nível de confiança não muda. -
é o desvio padrão populacional (aqui mantido constante). -
é o tamanho da amostra (o que queremos variar).
A amplitude (largura) total do intervalo de confiança — isto é, o comprimento do segmento do limite inferior ao limite superior — é:
Portanto, algebraicamente,
é proporcional a
.
Passo 3
Interpretação matemática direta e consequência prática:
- Como
, quando aumentamos a amplitude diminui. - Regra prática: se multiplicar
por um fator ( ), a amplitude é dividida por :
Exemplo numérico (para fixar a ideia): suponha
e nível de confiança 95% (logo
).
- Se
:
- Se aumentarmos para
(quatro vezes maior):
Observação fácil:
porque
. Isso mostra que quadruplicar
corta a largura pela metade.
Passo 4
Caso em que
é desconhecido (usamos
e a distribuição
):
A fórmula passa a ser
A fórmula passa a ser
e a amplitude
Explicação didática:
-
é o desvio padrão amostral (mantido constante segundo o enunciado). -
é o quantil da -Student com graus de liberdade; quando aumenta, diminui e tende para . - Assim, ao aumentar
temos dois efeitos que reduzem : o denominador cresce (diminui o termo) e o fator crítico fica menor (aproxima-se de ). Ambos fazem a amplitude diminuir. Na prática, o efeito dominante e facilmente quantificável é a dependência ; a queda de para é um ajuste adicional que ajuda, especialmente para pequenos.
Passo 5
Intuição e dicas para prova:
- Intuição: mais dados = estimativa mais precisa da média ⇒ erro padrão
menor ⇒ intervalo mais estreito. - Dica rápida para cálculos sem calculadora: lembrar que a largura escala como
. Assim, para reduzir a largura pela metade é preciso quadruplicar ; para reduzir pela raiz de vezes, aumentar por vezes, etc. - Observação sobre retorno decrescente: dobrar
reduz a largura por um fator (não pela metade). Portanto, aumentar muito dá ganhos cada vez menores na largura relativa — é o clássico custo-benefício nos planejamentos amostrais.
Resposta
Aumentando
a amplitude do intervalo de confiança diminui; mais precisamente, a largura
é proporcional a
(no caso usual
), logo quadruplicar
reduz a largura pela metade.