Mantendo todos os outros fatores constantes (mesma variância e mesma média amostral), descreva o que acontece com a amplitude (largura) do intervalo de confiança quando:
Aumentamos o tamanho da amostra (n).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pergunta: descreva o que acontece com a amplitude (largura) do intervalo de confiança quando aumentamos o tamanho da amostra n, mantendo os outros fatores constantes (mesma variância e mesma média amostral).
  • Informações relevantes (retiradas do enunciado):
    • A média amostral \bar{x} permanece a mesma.
    • A variância (ou desvio padrão populacional \sigma, ou a estimativa amostral s) permanece a mesma.
    • O nível de confiança (logo o valor crítico correspondente) é mantido constante.
    • A única coisa que muda é o tamanho da amostra n.

Passo 2

Fórmula do intervalo de confiança para a média (caso mais simples: variância populacional conhecida). Vou apresentar a fórmula, explicar cada símbolo e mostrar como a largura aparece nela.
\text{IC} = \bar{x} \pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Explicando cada símbolo:
  • \bar{x} é a média amostral (aqui mantida constante).
  • z_{\alpha/2} é o valor crítico da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança (por exemplo, para 95% é z_{0{,}025}\approx1{,}96) — este valor é mantido constante porque o nível de confiança não muda.
  • \sigma é o desvio padrão populacional (aqui mantido constante).
  • n é o tamanho da amostra (o que queremos variar).
    A amplitude (largura) total do intervalo de confiança — isto é, o comprimento do segmento do limite inferior ao limite superior — é:
W = 2\cdot\left(z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)=2 z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Portanto, algebraicamente, W é proporcional a \dfrac{1}{\sqrt{n}}.

Passo 3

Interpretação matemática direta e consequência prática:
  • Como W \propto \dfrac{1}{\sqrt{n}}, quando aumentamos n a amplitude W diminui.
  • Regra prática: se multiplicar n por um fator k ( n\to k n), a amplitude é dividida por \sqrt{k}:
W_{\text{novo}} = W_{\text{antigo}}\cdot\frac{1}{\sqrt{k}}.
Exemplo numérico (para fixar a ideia): suponha \sigma=10 e nível de confiança 95% (logo z_{\alpha/2}\approx1{,}96).
  • Se n=25:
W_{25}=2\cdot1{,}96\cdot\frac{10}{\sqrt{25}}=2\cdot1{,}96\cdot\frac{10}{5}=2\cdot1{,}96\cdot2=7{,}84.
  • Se aumentarmos para n=100 (quatro vezes maior):
W_{100}=2\cdot1{,}96\cdot\frac{10}{\sqrt{100}}=2\cdot1{,}96\cdot\frac{10}{10}=2\cdot1{,}96=3{,}92.
Observação fácil: W_{100}=W_{25}/2 porque \sqrt{100}=\sqrt{4\cdot25}=2\sqrt{25}. Isso mostra que quadruplicar n corta a largura pela metade.

Passo 4

Caso em que \sigma é desconhecido (usamos s e a distribuição t):
A fórmula passa a ser
\text{IC}=\bar{x}\pm t_{n-1,\alpha/2}\,\frac{s}{\sqrt{n}},
e a amplitude
W=2\,t_{n-1,\alpha/2}\,\frac{s}{\sqrt{n}}.
Explicação didática:
  • s é o desvio padrão amostral (mantido constante segundo o enunciado).
  • t_{n-1,\alpha/2} é o quantil da t-Student com n-1 graus de liberdade; quando n aumenta, t_{n-1,\alpha/2} diminui e tende para z_{\alpha/2}.
  • Assim, ao aumentar n temos dois efeitos que reduzem W: o denominador \sqrt{n} cresce (diminui o termo) e o fator crítico t_{n-1,\alpha/2} fica menor (aproxima-se de z_{\alpha/2}). Ambos fazem a amplitude diminuir. Na prática, o efeito dominante e facilmente quantificável é a dependência 1/\sqrt{n}; a queda de t para z é um ajuste adicional que ajuda, especialmente para n pequenos.

Passo 5

Intuição e dicas para prova:
  • Intuição: mais dados = estimativa mais precisa da média ⇒ erro padrão \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} menor ⇒ intervalo mais estreito.
  • Dica rápida para cálculos sem calculadora: lembrar que a largura escala como 1/\sqrt{n}. Assim, para reduzir a largura pela metade é preciso quadruplicar n; para reduzir pela raiz de 10 vezes, aumentar n por 10 vezes, etc.
  • Observação sobre retorno decrescente: dobrar n reduz a largura por um fator \sqrt{2}\approx1{,}414 (não pela metade). Portanto, aumentar muito n dá ganhos cada vez menores na largura relativa — é o clássico custo-benefício nos planejamentos amostrais.

Resposta

Aumentando n a amplitude do intervalo de confiança diminui; mais precisamente, a largura W é proporcional a \dfrac{1}{\sqrt{n}} (no caso usual W=2z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}), logo quadruplicar n reduz a largura pela metade.

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