Após a compactação de um aterro, medições do índice de suporte CBR foram realizadas em 9 pontos distintos. Os valores obtidos foram:
Amostra: 12, 18, 15, 20, 8, 16, 14, 22, 10

Calcule:

a) A média e a mediana do índice CBR.
b) O desvio padrão.
c) O projeto exige um CBR mínimo de 15. Quantos pontos de medição não atenderam ao especificado?

Passo 1

O enunciado dá nove medições do índice CBR em pontos distintos. Os valores são:
12,\\\ 18,\\\ 15,\\\ 20,\\\ 8,\\\ 16,\\\ 14,\\\ 22,\\\ 10.
O que se pede:
a) Calcular a média e a mediana do índice CBR.
b) Calcular o desvio padrão.
c) Determinar quantos pontos de medição não atendem ao requisito mínimo de CBR igual a 15.

Passo 2

Cálculo da média: explicação e procedimento passo a passo.
  • A média aritmética é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações. A fórmula é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde \bar{x} é a média, n é o número de observações e x_i são os valores observados.
  • Primeiro somar todos os valores:
12+18+15+20+8+16+14+22+10 = 135.
  • Como n=9, a média é
\bar{x}=\frac{135}{9}=15.
Interpretação rápida: a média é o valor “central” em termos de soma; aqui dá exatamente 15.

Passo 3

Cálculo da mediana: explicação e procedimento passo a passo.
  • A mediana é o valor central quando os dados são ordenados. Para n ímpar, a mediana é o elemento na posição \frac{n+1}{2}.
  • Ordenando os dados em ordem crescente:
8,\\\ 10,\\\ 12,\\\ 14,\\\ 15,\\\ 16,\\\ 18,\\\ 20,\\\ 22.
  • Como n=9, a posição central é \dfrac{9+1}{2}=5. O quinto valor da lista ordenada é 15.
    Logo, a mediana é 15.

Passo 4

Cálculo do desvio padrão com ensino do conceito e fórmula utilizada.
  • O desvio padrão mede a dispersão dos dados em torno da média. Há duas versões comuns: desvio padrão populacional (divide por n) e desvio padrão amostral (divide por n-1). Quando trabalhamos com uma amostra de medições e queremos estimar a variabilidade, usa-se normalmente o desvio padrão amostral, definido por
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2},
onde s é o desvio padrão amostral, n é o número de observações, x_i são os valores observados e \bar{x} é a média amostral. Neste exercício usarei o desvio padrão amostral (método básico e usual em exercícios de laboratório/engenharia).
  • Calculamos as diferenças x_i-\bar{x} e seus quadrados (peguei \bar{x}=15 do passo anterior):
\begin{aligned} 12-15 &= -3 &\Rightarrow&\\ (-3)^2=9,\\\\ 18-15 &= 3 &\Rightarrow&\\\ 3^2=9,\\\\ 15-15 &= 0 &\Rightarrow&\\\ 0^2=0,\\\\ 20-15 &= 5 &\Rightarrow&\\\ 5^2=25,\\\\ 8-15 &= -7 &\Rightarrow&\\ (-7)^2=49,\\\\ 16-15 &= 1 &\Rightarrow&\\\ 1^2=1,\\\\ 14-15 &= -1 &\Rightarrow&\\ (-1)^2=1,\\\\ 22-15 &= 7 &\Rightarrow&\\\ 7^2=49,\\\\ 10-15 &= -5 &\Rightarrow&\\ (-5)^2=25. \end{aligned}
  • Somando os quadrados das diferenças:
\sum_{i=1}^{9}(x_i-\bar{x})^2 = 9+9+0+25+49+1+1+49+25 = 168.
  • A variância amostral é
s^2=\frac{168}{n-1}=\frac{168}{8}=21.
  • O desvio padrão amostral é a raiz quadrada da variância:
s=\sqrt{21}\approx 4,5825756949\ldots
Arredondando de forma prática para a prova (duas casas decimais):
s\approx 4,58.
Interpretação: em média os valores se desviam da média por cerca de 4,58 unidades de CBR.

Passo 5

Verificar quantos pontos não atingem o CBR mínimo de 15:
  • O requisito "mínimo de 15" significa que qualquer medição com valor menor que 15 não atende. Valores iguais a 15 atendem.
  • Da lista original, os valores menores que 15 são:
12,\\\ 8,\\\ 14,\\\ 10.
Isso dá 4 pontos que não atenderam ao especificado.

Resposta

a) \text{média}=15,\\ \text{mediana}=15é
b) \text{desvio padrão (amostral)}=\sqrt{21}\approx 4,58ã
c) \text{pontos que não atenderam}=4ã

Exercícios relacionados