Após a compactação de um aterro, medições do índice de suporte CBR foram realizadas em 9 pontos distintos. Os valores obtidos foram:
Amostra: 12, 18, 15, 20, 8, 16, 14, 22, 10
Calcule:
a) A média e a mediana do índice CBR.
b) O desvio padrão.
c) O projeto exige um CBR mínimo de 15. Quantos pontos de medição não atenderam ao especificado?
Passo 1
O enunciado dá nove medições do índice CBR em pontos distintos. Os valores são:
O que se pede:
a) Calcular a média e a mediana do índice CBR.
b) Calcular o desvio padrão.
c) Determinar quantos pontos de medição não atendem ao requisito mínimo de CBR igual a 15.
Passo 2
Cálculo da média: explicação e procedimento passo a passo.
A média aritmética é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações. A fórmula é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde \bar{x} é a média, n é o número de observações e x_i são os valores observados.
Primeiro somar todos os valores:
12+18+15+20+8+16+14+22+10 = 135.
Como n=9, a média é
\bar{x}=\frac{135}{9}=15.
Interpretação rápida: a média é o valor “central” em termos de soma; aqui dá exatamente 15.
Passo 3
Cálculo da mediana: explicação e procedimento passo a passo.
A mediana é o valor central quando os dados são ordenados. Para n ímpar, a mediana é o elemento na posição \frac{n+1}{2}.
Como n=9, a posição central é \dfrac{9+1}{2}=5. O quinto valor da lista ordenada é 15.
Logo, a mediana é 15.
Passo 4
Cálculo do desvio padrão com ensino do conceito e fórmula utilizada.
O desvio padrão mede a dispersão dos dados em torno da média. Há duas versões comuns: desvio padrão populacional (divide por n) e desvio padrão amostral (divide por n-1). Quando trabalhamos com uma amostra de medições e queremos estimar a variabilidade, usa-se normalmente o desvio padrão amostral, definido por
onde s é o desvio padrão amostral, n é o número de observações, x_i são os valores observados e \bar{x} é a média amostral. Neste exercício usarei o desvio padrão amostral (método básico e usual em exercícios de laboratório/engenharia).
Calculamos as diferenças x_i-\bar{x} e seus quadrados (peguei \bar{x}=15 do passo anterior):