O relatório de ensaio de um lote de barras de aço CA-50 apresentou os seguintes valores de carga de ruptura (em kN):
Amostra: 105, 98, 110, 102, 108, 115, 100, 107, 112, 95

Calcule:

a) A média e o desvio padrão amostral.
b) O coeficiente de variação.
c) Se a carga nominal de ruptura especificada pelo fabricante é de 100 kN , qual a porcentagem de barras que superaram essa carga nominal?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Dados (valores de carga de ruptura em kN):
105,\;98,\;110,\;102,\;108,\;115,\;100,\;107,\;112,\;95
O enunciado pede:
a) Calcular a média amostral e o desvio padrão amostral.
b) Calcular o coeficiente de variação.
c) Dada a carga nominal de 100 kN, informar a porcentagem de barras que superaram essa carga (ou seja, porcentagem com valor estritamente maior que 100 kN).

Passo 2

Cálculo da média amostral \bar{x}. Vou explicar primeiro a fórmula e o que cada símbolo significa.
  • A média amostral \bar{x} é a soma das observações dividida pelo número de observações.
  • Fórmula:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i
onde n é o número de observações e x_i são as observações individuais.
Aqui n=10. Somando os valores fornecidos:
\sum_{i=1}^{10} x_i = 105+98+110+102+108+115+100+107+112+95 = 1052
Portanto a média é
\bar{x}=\frac{1052}{10}=105,2\\ \text{kN}.
Interpretação curta: em média as barras romperam com 105,2 kN.

Passo 3

Cálculo do desvio padrão amostral s. Primeiro a fórmula e explicação:
  • O desvio padrão amostral mede a dispersão das observações em torno da média.
  • Usamos a fórmula com divisor n-1 (correção de Bessel) para estimar a variabilidade da população a partir da amostra:
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}.
Aqui: n=10 e \bar{x}=105,2. Vou calcular cada desvio x_i-\bar{x} e seu quadrado e somar.
Lista dos desvios e quadrados (cada passo com conta):
\begin{aligned} 105-105,2 &= -0,2 &\Rightarrow&\quad (-0,2)^2=0,04\\\\ 98-105,2 &= -7,2 &\Rightarrow&\quad (-7,2)^2=51,84\\\\ 110-105,2 &= 4,8 &\Rightarrow&\quad 4,8^2=23,04\\\\ 102-105,2 &= -3,2 &\Rightarrow&\quad (-3,2)^2=10,24\\\\ 108-105,2 &= 2,8 &\Rightarrow&\quad 2,8^2=7,84\\\\ 115-105,2 &= 9,8 &\Rightarrow&\quad 9,8^2=96,04\\\\ 100-105,2 &= -5,2 &\Rightarrow&\quad (-5,2)^2=27,04\\\\ 107-105,2 &= 1,8 &\Rightarrow&\quad 1,8^2=3,24\\\\ 112-105,2 &= 6,8 &\Rightarrow&\quad 6,8^2=46,24\\\\ 95-105,2 &= -10,2 &\Rightarrow&\quad (-10,2)^2=104,04 \end{aligned}
Somando todos os quadrados:
\sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar{x})^2 = 0,04+51,84+23,04+10,24+7,84+96,04+27,04+3,24+46,24+104,04 = 369,6.
Agora a variância amostral:
s^2=\frac{369,6}{n-1}=\frac{369,6}{9}=41,066\ldots
E o desvio padrão:
s=\sqrt{41,066\ldots}\approx 6,408\ldots\\ \text{kN}.
Arredondando para duas casas decimais (prática comum em ensaios):
s\approx 6,41\\ \text{kN}.

Passo 4

Cálculo do coeficiente de variação (CV) e explicação:
  • O coeficiente de variação padroniza o desvio pela média, expressando a dispersão relativa em porcentagem.
  • Fórmula:
\text{CV}=\frac{s}{\bar{x}}\times 100\%.
Substituindo os valores ( s\approx 6,408 e \bar{x}=105,2):
\text{CV}=\frac{6,408\ldots}{105,2}\times 100\%\approx 6,0905\%\\ .
Arredondando para duas casas decimais:
\text{CV}\approx 6,09\%.
Interpretação curta: a variação típica é cerca de 6{,}1\% da média — ou seja, dispersão moderada.

Passo 5

Porcentagem de barras que superaram a carga nominal de 100 kN.
  • Precisamos contar quantas observações são estritamente maiores que 100 kN.
    Observações maiores que 100 kN: 105,\;110,\;102,\;108,\;115,\;107,\;112. Isso dá 7 observações.
  • Total de observações n=10. Assim a porcentagem é
\frac{7}{10}\times 100\%=70\%.
Observação: a observação com exatamente 100 kN não é contada, porque a pergunta pediu “superaram” (estritamente maior).

Resposta

a) \bar{x}=105,2\\ \text{kN},\\ s\approx 6,41\\ \text{kN}
b) \text{CV}\approx 6,09\%
c) 70\%

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