Para planejar o cronograma de uma obra, um mestre de obras registrou o tempo de secagem (em horas) de um novo revestimento argamassado em 8 testes:
Amostra: 5.0, 6.5, 4.0, 7.0, 5.5, 6.0, 8.0, 5.0
Calcule:
Identifique se existe algum outlier

Passo 1

O enunciado dá os tempos de secagem (em horas) de 8 amostras:
5{,}0,\;6{,}5,\;4{,}0,\;7{,}0,\;5{,}5,\;6{,}0,\;8{,}0,\;5{,}0.
A pergunta é: identifique se existe algum outlier (valor atípico) entre esses dados.

Passo 2

Decidindo o método (explicação curta e porquê)
  • Um método robusto e muito usado para detectar outliers é o critério de Tukey (baseado no intervalo interquartílico, IQR). Ele não assume normalidade e funciona bem em amostras pequenas — por isso vou usá-lo.
  • Vou também fazer uma checagem alternativa com o critério de z-score (média e desvio padrão) só para confirmar. Vou explicar os dois métodos passo a passo.

Passo 3

Ordenar os dados (obrigatório antes de calcular quartis)
Ordenando em ordem crescente:
4{,}0,\;5{,}0,\;5{,}0,\;5{,}5,\;6{,}0,\;6{,}5,\;7{,}0,\;8{,}0.

Passo 4

Calcular mediana, primeiro quartil Q_1 e terceiro quartil Q_3 (explicando o procedimento)
  • Como há n=8 (par), a mediana é a média dos valores nas posições 4 e 5.
\text{Mediana}=\frac{5{,}5+6{,}0}{2}=5{,}75.
  • Para Q_1 (mediana da metade inferior) consideramos os quatro menores valores: 4{,}0,\;5{,}0,\;5{,}0,\;5{,}5. A mediana dessa metade é a média dos 2.º e 3.º termos dessa meia-sequência:
Q_1=\frac{5{,}0+5{,}0}{2}=5{,}00.
  • Para Q_3 (mediana da metade superior) consideramos os quatro maiores valores: 6{,}0,\;6{,}5,\;7{,}0,\;8{,}0. A mediana dessa metade é a média dos 2.º e 3.º termos dessa meia-sequência:
Q_3=\frac{6{,}5+7{,}0}{2}=6{,}75.

Passo 5

Calcular o intervalo interquartílico e as “fences” de Tukey
  • Intervalo interquartílico:
\text{IQR}=Q_3-Q_1=6{,}75-5{,}00=1{,}75.
  • O critério de Tukey declara como outlier qualquer ponto menor que
Q_1-1{,}5\cdot\text{IQR}
ou maior que
Q_3+1{,}5\cdot\text{IQR}.
  • Calcular 1{,}5\cdot\text{IQR}:
1{,}5\cdot1{,}75=2{,}625.
  • Então as fences são:
\text{Lower fence}=5{,}00-2{,}625=2{,}375, \qquad \text{Upper fence}=6{,}75+2{,}625=9{,}375.

Passo 6

Comparar os dados com as fences de Tukey
  • Menor valor dos dados: 4{,}0. Como 4{,}0>2{,}375, não é outlier.
  • Maior valor dos dados: 8{,}0. Como 8{,}0<9{,}375, não é outlier.
  • Todos os outros valores estão entre 4{,}0 e 8{,}0, logo também dentro das fences.
    Conclusão pelo critério de Tukey: não há outliers.

Passo 7

Checagem alternativa pelo critério de z-score (média e desvio padrão) — explicar e calcular
  • Por esse método calcula-se a média \bar{x} e o desvio padrão amostral s. Valores com |z|=\left|\dfrac{x-\bar{x}}{s}\right| muito grandes (por exemplo >3) podem ser considerados outliers.
  • Soma dos valores:
\sum x = 47{,}0.
  • Média:
\bar{x}=\frac{47{,}0}{8}=5{,}875.
  • Calcular soma dos quadrados dos desvios (detalhei os termos no rascunho):
\sum (x-\bar{x})^{2}=11{,}375.
  • Variância amostral:
s^{2}=\frac{\sum (x-\bar{x})^{2}}{n-1}=\frac{11{,}375}{7}=1{,}625.
  • Desvio padrão:
s=\sqrt{1{,}625}\approx1{,}2748.
  • z-score do menor valor 4{,}0:
z_{4{,}0}=\frac{4{,}0-5{,}875}{1{,}2748}\approx-1{,}47.
  • z-score do maior valor 8{,}0:
z_{8{,}0}=\frac{8{,}0-5{,}875}{1{,}2748}\approx1{,}67.
Ambos estão bem dentro de |z|<3 (ou mesmo <2), portanto pelo critério do z-score também não há outliers.

Passo 8

Interpretação final e incentivo rápido
  • Os dois métodos (Tukey/IQR e z-score) concordam: não existem valores atípicos nessa amostra de 8 tempos de secagem.
  • Bom trabalho — dado pequeno e razoavelmente concentrado é comum não ter outliers; fica a dica: para detectar outliers em provas use primeiro o critério de Tukey (é prático e rápido) e, se necessário, confirme com z-scores.

Resposta

Não existem outliers (nenhum valor está fora dos limites 2{,}375 e 9{,}375 pelo critério de Tukey; checagem por z-score também não indica outliers).

Exercícios relacionados