Após deixar uma plataforma de petróleo, um vazamento em um navio provoca uma mancha de petróleo quando a
embarcação está 264 km ao Norte e 224 km ao Leste da plataforma.No primeiro dia,as correntes marítimas arrastam a mancha 29,6 \mathrm{~km} em uma direção 20^{\circ} ao Sul do Leste.No segundo dia a mancha desloca-se 25,7 \mathrm{~km} exatamente na direção noroeste.Se,ao final do segundo dia,um helicóptero decolar da plataforma numa trajetória retilínea rumo à mancha, em que direção deverá voar?Marque sua resposta com o ângulo em graus medido em relação à direção Leste.Ângulos ao Norte da direção Leste são considerados positivos(i.e.sentido anti-horário).

Passo 1

O problema pede: encontrar a direção que o helicóptero deve voar partindo da plataforma em linha reta até a mancha ao final do segundo dia. A direção deve ser dada como um ângulo em graus medido em relação à direção Leste, onde ângulos ao Norte da direção Leste são positivos (sentido anti‑horário).
Informações dadas (todas relativas à plataforma, posição inicial da mancha):
  • A mancha, ao começar, está 264 km ao Norte e 224 km ao Leste da plataforma. (Logo a posição inicial é (x_0,y_0)=(224,264), com x orientado para Leste e y para Norte.)
  • No primeiro dia a mancha desloca 29{,}6 km em direção 20^\circ ao Sul do Leste. (Isto é, partindo da direção Leste, gira 20^\circ em direção ao Sul.)
  • No segundo dia ela desloca 25{,}7 km exatamente na direção Noroeste.
  • Devemos calcular o ângulo \theta (em graus) medido a partir do Leste, positivo para o Norte, tal que a reta plataforma → posição final da mancha tem direção \theta.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas simples e explico a estratégia:
  • Eixo x: positivo para Leste. Eixo y: positivo para Norte.
  • Cada deslocamento será tratado como um vetor com componentes (\Delta x,\Delta y).
  • Soma vetorial: posição final é a posição inicial mais os dois deslocamentos:
(x_{\text{final}},y_{\text{final}})=(x_0,y_0)+(\Delta x_1,\Delta y_1)+(\Delta x_2,\Delta y_2).
  • Para um deslocamento de módulo r e ângulo \varphi medido a partir do Leste no sentido anti‑horário, as componentes são
\Delta x = r\cos\varphi,\qquad \Delta y = r\sin\varphi.
Vou explicar como escolhi os ângulos \varphi dos dois deslocamentos:
  • Dia 1: “20° ao Sul do Leste” significa partir do Leste e girar 20^\circ em direção ao Sul → isto é \phi_1=-20^\circ (negativo porque fica ao Sul do Leste).
  • Dia 2: “Noroeste” é a direção intermediária entre Norte ( 90^\circ) e Oeste ( 180^\circ), ou seja \phi_2=135^\circ.

Passo 3

Calculo as componentes do deslocamento do primeiro dia. Uso a fórmula \Delta x = r\cos\varphi, \Delta y = r\sin\varphi com r=29{,}6 km e \phi_1=-20^\circ.
Para referência numérica usamos:
\cos20^\circ \approx 0{,}9396926,\qquad \sin20^\circ \approx 0{,}3420201.
Como \phi_1=-20^\circ, temos \cos(-20^\circ)=\cos20^\circ e \sin(-20^\circ)=-\sin20^\circ. Assim:
\Delta x_1 = 29{,}6\cos(-20^\circ)=29{,}6\cdot 0{,}9396926\approx 27{,}8149\\ \text{km},
\Delta y_1 = 29{,}6\sin(-20^\circ)=29{,}6\cdot(-0{,}3420201)\approx -10{,}1239\\ \text{km}.
Interpretação: o primeiro dia deslocou a mancha aproximadamente 27{,}815 km para Leste e 10{,}124 km para Sul.

Passo 4

Calculo as componentes do deslocamento do segundo dia. O deslocamento é r=25{,}7 km na direção \phi_2=135^\circ (Noroeste).
Sabemos que
\cos135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}\approx -0{,}70710678,\qquad \sin135^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0{,}70710678.
Logo:
\Delta x_2 = 25{,}7\cos135^\circ \approx 25{,}7\cdot(-0{,}70710678)\approx -18{,}1727\\ \text{km},
\Delta y_2 = 25{,}7\sin135^\circ \approx 25{,}7\cdot 0{,}70710678\approx 18{,}1727\\ \text{km}.
Interpretação: o segundo dia trouxe a mancha cerca de 18{,}173 km para Oeste (sinal negativo em x) e 18{,}173 km para Norte.

Passo 5

Agora somo tudo para obter as coordenadas finais. A posição inicial é (x_0,y_0)=(224,264).
Somando componentes:
x_{\text{final}}=224+\Delta x_1+\Delta x_2 =224+27{,}8149-18{,}1727\approx 233{,}6422\\ \text{km},
y_{\text{final}}=264+\Delta y_1+\Delta y_2 =264-10{,}1239+18{,}1727\approx 272{,}0488\\ \text{km}.
Conclusão: a mancha ao final do segundo dia está aproximadamente na posição (233{,}6422,\;272{,}0488) km em relação à plataforma.

Passo 6

Calculo a direção (ângulo) que a linha plataforma → mancha faz com a direção Leste. Como x_{\text{final}}>0 e y_{\text{final}}>0, o ponto está no primeiro quadrante e o ângulo pode ser obtido por
\theta=\arctan\!\left(\frac{y_{\text{final}}}{x_{\text{final}}}\right).
Substituindo:
\frac{y_{\text{final}}}{x_{\text{final}}}\approx\frac{272{,}0488}{233{,}6422}\approx 1{,}16438.
Agora \theta=\arctan(1{,}16438). Sabendo que \tan49^\circ\approx 1{,}1504 e \tan50^\circ\approx 1{,}1918, o valor \tan^{-1}(1{,}16438) fica entre 49^\circ e 50^\circ. Fazendo uma interpolação aproximada obtemos
\theta\approx 49{,}3^\circ.
Interpretação: o ângulo é 49{,}3^\circ no sentido anti‑horário a partir do Leste, ou seja 49{,}3^\circ ao Norte do Leste.

Resposta

49{,}3^\circ

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