Um fio de cabelo com espessura de 0,2 \mathrm{~mm} é usado para produzir um padrāo de difração de um fenda dupla para um laser de comprimento de onda 600 nm . Escolha uma distância de separação entre o fio e o anteparo de modo que o experimento possa ser realizado em uma sala de aula escura e indique a posiçāo dos três primeiros máximos ( m=0,1 e 2 ).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma escolha e posições dos máximos:
  • Espessura do fio de cabelo: d=0,2\\ \mathrm{mm}.
  • Comprimento de onda do laser: \lambda=600\\ \mathrm{nm}.
  • Pedem que eu escolha uma distância entre o fio e o anteparo (chamarei essa distância de L) de modo que o experimento seja viável numa sala de aula escura, e que eu indique a posição dos três primeiros máximos de interferência ( m=0,1,2).
O que preciso fornecer: um valor razoável para L (justificando a escolha) e as posições na tela dos máximos para m=0,1,2.

Passo 2

Conceito básico (explicado devagar): quando duas fendas produzem um padrão de interferência, os máximos de intensidade ocorrem quando a diferença de caminho entre as ondas vindas de cada fenda é um múltiplo inteiro do comprimento de onda. A condição matemática para os máximos é
d\sin\theta = m\lambda,
onde:
  • d é a separação entre as duas fontes (aqui estamos usando a espessura do fio como separação efetiva entre as duas frentes que interferem),
  • \theta é o ângulo medido a partir da direção central (normal ao anteparo) até o máximo m,
  • m é um inteiro ( m=0,\pm1,\pm2,\dots), sendo m=0 o máximo central,
  • \lambda é o comprimento de onda.
Explicação intuitiva: se uma crista de uma onda de uma “fenda” chega ao ponto da tela deslocada do centro por exatamente \lambda em relação à crista da outra, elas se reforçam — isso dá um máximo.

Passo 3

Passo para achar a posição y do máximo na tela: se L é a distância fio–anteparo, então a posição vertical y (medida a partir do máximo central) está relacionada ao ângulo \theta por \tan\theta = y/L. Para pequenos ângulos (situação típica de sala de aula quando y\ll L) podemos aproximar
\sin\theta \approx \tan\theta \approx \frac{y}{L}.
Substituindo na condição dos máximos obtemos a fórmula prática usada em laboratório:
\frac{y}{L} \approx \frac{m\lambda}{d} \quad\Rightarrow\quad y \approx m\,\frac{\lambda L}{d}.
Aqui:
  • y é a distância do máximo m até o máximo central na tela (positivo para cima, negativo para baixo),
  • L é a distância fio–anteparo que vamos escolher.

Passo 4

Converter unidades e escolher L. Valores numéricos (com conversão para metros):
d = 0,2\\ \mathrm{mm} = 2{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}, \qquad \lambda = 600\\ \mathrm{nm} = 6{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Escolha de L: quero que a separação entre máximos vizinhos seja facilmente observável numa sala de aula (alguns mm a alguns cm). Se eu escolher L=2{,}0\\ \mathrm{m} (distância prática numa sala de aula grande), a separação entre máximos consecutivos será
\Delta y = \frac{\lambda L}{d},
que vou calcular no passo seguinte. L=2{,}0\\ \mathrm{m} é uma escolha realista: permite franjas de alguns mm, fáceis de ver em ambiente escuro, sem ocupar espaço demais.

Passo 5

Cálculo numérico das posições para L=2{,}0\\ \mathrm{m}.
Calculo de \Delta y=\dfrac{\lambda L}{d}:
\lambda L = (6{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{m})(2{,}0\\ \mathrm{m}) = 1{,}20\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
\Delta y = \frac{1{,}20\times10^{-6}\\ \mathrm{m}}{2{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}} = 6{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 6{,}0\\ \mathrm{mm}.
Assim, usando y_m = m\,\Delta y:
  • Para m=0: y_0 = 0.
  • Para m=1: y_1 = 1\cdot 6{,}0\\ \mathrm{mm} = 6{,}0\\ \mathrm{mm} (existem máximos simétricos em +6{,}0\\ \mathrm{mm} e -6{,}0\\ \mathrm{mm} em relação ao centro).
  • Para m=2: y_2 = 2\cdot 6{,}0\\ \mathrm{mm} = 12{,}0\\ \mathrm{mm} (isto é, \pm12{,}0\\ \mathrm{mm}).
Mostro rapidamente que a aproximação de pequeno ângulo é consistente: \theta_1 \approx y_1/L = 6{,}0\times10^{-3}/2{,}0 = 3{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{rad}\approx0{,}17^\circ, muito pequeno — então \sin\theta\approx\tan\theta vale bem.

Passo 6

Resumo prático e dica de montagem: com L=2{,}0\\ \mathrm{m} as franjas ficam a cada 6{,}0\\ \mathrm{mm}, o que é fácil de medir com régua ou cartão milimetrado. Em sala escura o máximo central e os dois primeiros máximos laterais devem ser claramente visíveis. Se quiser franjas maiores (mais fáceis de ver a olho nu), aumente L; se tiver pouco espaço, L=1{,}0\\ \mathrm{m} daria franjas de 3{,}0\\ \mathrm{mm} (ainda visíveis).

Resposta

m=0:\; y=0
m=1:\; y=\pm6{,}0\\ \mathrm{mm}
m=2:\; y=\pm12{,}0\\ \mathrm{mm}

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