Julgue os itens abaixo atribuindo(V)para
os verdadeiros e(F)para os falsos.
Os componentes
horizontal e vertical
do vetor velocidade
são
e
,
respectivamente.Se
as componentes são
não nulas,podemos
afirmar que
.
Se a resultante da
soma de três vetores é
zero,então,a soma de
quaisquer dois
vetores é o negativo
do terceiro vetor.
Os componentes de
um vetor não
dependem dos eixos
escolhidos.
os verdadeiros e(F)para os falsos.
horizontal e vertical
do vetor velocidade
são
respectivamente.Se
as componentes são
não nulas,podemos
afirmar que
Se a resultante da
soma de três vetores é
zero,então,a soma de
quaisquer dois
vetores é o negativo
do terceiro vetor.
Os componentes de
um vetor não
dependem dos eixos
escolhidos.
Passo 1
O enunciado pede que eu julgue três afirmações atribuindo (V) para verdadeiro e (F) para falso. As três afirmações são:
-
“Os componentes horizontal e vertical do vetor velocidade
são e , respectivamente. Se as componentes são não nulas, podemos afirmar que .” -
“Se a resultante da soma de três vetores é zero, então, a soma de quaisquer dois vetores é o negativo do terceiro vetor.”
-
“Os componentes de um vetor não dependem dos eixos escolhidos.”
Vou analisar cada afirmação passo a passo, mostrando os conceitos necessários para entender por que cada uma é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Conceitos e fórmulas úteis (explicados de forma simples):
-
Um vetor plano
pode ser representado pelas suas componentes ao longo de dois eixos ortogonais, por exemplo . Aqui é a componente horizontal (projeção sobre o eixo ) e é a componente vertical (projeção sobre o eixo ). -
O módulo (comprimento) do vetor
é dado pela fórmula de Pitágoras:
Explicando:
e
são as áreas quadráticas das componentes; a raiz quadrada da soma dá o comprimento do vetor.
- Para números não negativos
e vale a desigualdade
com igualdade somente quando
. Tomando raízes positivas:
e a desigualdade é estrita (
) se ambos
e
são estritamente positivos.
Essa última desigualdade é a que vamos aplicar ao caso
e
, pois módulos são não negativos.
Passo 3
Análise da afirmação (1):
Aplicando o resultado do passo anterior com
e
, obtemos
Se ambas as componentes são não nulas, então
e
, o que faz
e portanto a desigualdade é estrita:
Portanto a afirmação que diz
é contrária ao que a matemática nos dá; ela é falsa.
Exemplo numérico para fixar a intuição: para
temos
e
. Veja que
, não
.
Passo 4
Análise da afirmação (2):
Sejam três vetores
,
e
tais que
Basta isolar qualquer um dos vetores para ver a conclusão. Por exemplo, subtraindo
de ambos os lados:
Analogamente obtemos
e
. Isso é apenas álgebra vetorial básica (os vetores obedecem às mesmas operações lineares que números quanto à soma e inverso aditivo).
Interpretação geométrica (ajuda a fixar): se três vetores somam zero, colocados “cabo-a-rabo” formam um triângulo fechado; qualquer dois concatenados dão a direção e sentido oposto ao terceiro. Portanto a afirmação é verdadeira.
Exemplo numérico:
,
,
. Aqui
e
.
Passo 5
Análise da afirmação (3):
Um vetor em si (um “vetor livre”) é uma entidade geométrica que não depende do sistema de coordenadas: ele tem direção, sentido e magnitude intrínsecos. Porém as componentes numéricas de um vetor dependem da escolha dos eixos (orientação do sistema de coordenadas). Ou seja, se você girar os eixos, as projeções do vetor sobre esses eixos mudam, portanto os números
e
mudam.
Formalmente, se você escolhe uma nova base ortonormal obtida por rotação de um ângulo
, as componentes na nova base
são relacionadas às antigas por uma matriz de rotação (mostro a ideia, sem entrar em muitos sinais confusos):
onde
é a matriz de rotação (os termos envolvem
e
). Salientando: salvo casos especiais (por exemplo rotação nula ou componentes alinhadas com eixos de forma a produzir zeros), as componentes mudam com
.
Exemplo numérico simples para ver que mudam: para
(um vetor de comprimento
apontando ao longo do eixo
original), se escolhermos eixos rotacionados
(com o novo eixo
tendo direção
), as componentes relativas a esses eixos ficam
ou seja, passaram de
para aproximadamente
. Logo os componentes dependem claramente da escolha dos eixos. Assim, a afirmação “Os componentes de um vetor não dependem dos eixos escolhidos” é falsa.
Observação útil na prova: o que não muda ao trocar eixos é o vetor em si e seu módulo
; mudam as coordenadas (componentes).
Resposta
(F)
(V)
(F)
(V)
(F)