Uma partícula de carga \mathrm{q}=2,5 \mu \mathrm{C}
desloca-se em uma região com campo
magnético uniforme B=1,6 \mathrm{mT} \hat{\jmath} com
velocidade \mathbf{v}=8 \mathrm{~km} / \mathrm{s} \hat{\imath}+-5,1 \mathrm{~km} / \mathrm{s} \hat{\jmath}
Sabendo-se que a força magnética é dada
pela equação
\mathbf{F}=\mathrm{q}(\mathbf{v} \times \mathbf{B}),
em que \mathbf{v} \times \mathbf{B} representa o produto
vetorial dos vetores velocidade e campo
magnético,calcule o módulo de \mathbf{F}
(multiplique sua resposta por 10^{\wedge} 6 ).

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
  • Carga da partícula: q=2{,}5\\ \mu\mathrm{C}.
  • Campo magnético uniforme: \mathbf{B}=1{,}6\\ \mathrm{mT}\,\hat{\jmath}.
  • Velocidade da partícula: \mathbf{v}=8\\ \mathrm{km/s}\,\hat{\imath}+(-5{,}1)\\ \mathrm{km/s}\,\hat{\jmath}.
  • A força magnética é dada por \mathbf{F}=q(\mathbf{v}\times\mathbf{B}).
  • O que se pede: calcular o módulo de \mathbf{F} e, por fim, multiplicar o resultado por 10^{6}.
Listei todas as informações numéricas do enunciado; na próxima etapa vamos transformar unidades e calcular passo a passo o produto vetorial e a força.

Passo 2

Conversão de unidades (muito importante para não errar contas):
  • \mu\mathrm{C} para coulomb: 1\\ \mu\mathrm{C}=10^{-6}\\ \mathrm{C}, então q = 2{,}5\times 10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • \mathrm{mT} para tesla: 1\\ \mathrm{mT}=10^{-3}\\ \mathrm{T}, então \mathbf{B} = 1{,}6\times 10^{-3}\\ \mathrm{T}\\ \hat{\jmath}.
  • \mathrm{km/s} para \mathrm{m/s}: 1\\ \mathrm{km/s}=10^{3}\\ \mathrm{m/s}, então \mathbf{v} = 8{,}0\times 10^{3}\\ \mathrm{m/s}\\ \hat{\imath} + (-5{,}1\times 10^{3})\\ \mathrm{m/s}\\ \hat{\jmath}.

Passo 3

Fórmula do produto vetorial em componentes e por que só aparece uma componente aqui:
Se \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z) e \mathbf{B}=(B_x,B_y,B_z), então
\mathbf{v}\times\mathbf{B} = \big(v_yB_z - v_zB_y,\; v_zB_x - v_xB_z,\; v_xB_y - v_yB_x\big).
No nosso caso temos v_z=0 e B_x=0,\;B_z=0 porque \mathbf{v} está no plano xy e \mathbf{B} está ao longo de \hat{\jmath}. Portanto os dois primeiros componentes do produto vetorial são zero e sobra apenas a componente z:
\mathbf{v}\times\mathbf{B} = \big(0,\;0,\;v_xB_y\big).
Entenda intuitivamente: uma velocidade ao longo de \hat{\imath} cruzada com um campo ao longo de \hat{\jmath} dá algo na direção \hat{k}.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos para calcular v_xB_y:
  • v_x = 8{,}0\times 10^{3}\\ \mathrm{m/s}.
  • B_y = 1{,}6\times 10^{-3}\\ \mathrm{T}.
Então
v_x B_y = \big(8{,}0\times 10^{3}\big)\big(1{,}6\times 10^{-3}\big) = 8{,}0\times 1{,}6 \times 10^{3-3} = 12{,}8.
A unidade resultante é \mathrm{m/s}\cdot\mathrm{T}, mas para calcular a força isso será multiplicado por q, que já dá newtons.
Logo
\mathbf{v}\times\mathbf{B} = \big(0,\;0,\;12{,}8\big).

Passo 5

Cálculo do módulo da força magnética usando \mathbf{F}=q(\mathbf{v}\times\mathbf{B}):
O módulo de \mathbf{F} é
|\mathbf{F}| = q\,|\mathbf{v}\times\mathbf{B}| = q\cdot 12{,}8.
Substituindo q=2{,}5\times 10^{-6}\\ \mathrm{C},
|\mathbf{F}| = 2{,}5\times 10^{-6}\times 12{,}8 = 32{,}0\times 10^{-6} = 3{,}20\times 10^{-5}\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Agora multiplicar o resultado por 10^{6} conforme pedido:
|\mathbf{F}|\times 10^{6} = \big(3{,}20\times 10^{-5}\big)\times 10^{6} = 3{,}20\times 10^{1} = 32.
Pequeno comentário amigo: deu tudo certinho, o número ficou redondinho — ótimo sinal de que as conversões e contas foram feitas certo. Força magnética é pequena (em newtons), por isso pediram multiplicar por 10^{6} para ficar num valor mais “legível”.

Resposta

32

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