O conjunto abaixo representa cinco medidas da aceleração da gravidade g em \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}.
\{9,90 ; 9,68 ; 9,57 ; 9,72 ; 9,80\}
Quais são a melhor estimativa e a respectiva incerteza para seu valor esperado, isto é, qual a estimativa-padrão para a aceleração da gravidade?

Passo 1

O enunciado dá cinco medidas da aceleração da gravidade, em \mathrm{m}/\mathrm{s}^2, e pede a melhor estimativa para o valor esperado e a respectiva incerteza (a estimativa-padrão). Os dados fornecidos são:
\{9,90;\;9,68;\;9,57;\;9,72;\;9,80\}.
A pergunta é: qual é a melhor estimativa para g (o valor esperado) e qual a incerteza associada a essa estimativa?

Passo 2

Primeiro vamos calcular a melhor estimativa para o valor esperado: usamos a média amostral. A fórmula da média amostral é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde n é o número de medidas e x_i cada medida. Aqui n=5. Calculamos a soma:
\sum_{i=1}^{5} x_i = 9,90+9,68+9,57+9,72+9,80 = 48,67.
Portanto a média é
\bar{x}=\frac{48,67}{5}=9,734.
Essa é a nossa melhor estimativa pontual para g antes de considerar arredondamentos.

Passo 3

Agora precisamos da incerteza da média. A incerteza padrão da média (desvio padrão do erro da média) é dada por
s_{\bar{x}}=\frac{s}{\sqrt{n}},
onde s é o desvio padrão amostral. O desvio padrão amostral s é calculado por
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}.
Usamos n-1 no denominador (correção de Bessel) para obter um estimador não viciado da variância populacional quando trabalhamos com amostras.

Passo 4

Vamos calcular as diferenças x_i-\bar{x}, seus quadrados e a soma desses quadrados (tudo com 3 casas decimais para acompanhar a conta):
\begin{array}{lcl} 9,90-\bar{x}=9,90-9,734=0,166, &\quad& (0,166)^2=0,027556,\\[4pt] 9,68-\bar{x}=9,68-9,734=-0,054, &\quad& (-0,054)^2=0,002916,\\[4pt] 9,57-\bar{x}=9,57-9,734=-0,164, &\quad& (-0,164)^2=0,026896,\\[4pt] 9,72-\bar{x}=9,72-9,734=-0,014, &\quad& (-0,014)^2=0,000196,\\[4pt] 9,80-\bar{x}=9,80-9,734=0,066, &\quad& (0,066)^2=0,004356. \end{array}
Somando os quadrados:
\sum_{i=1}^{5}(x_i-\bar{x})^2 = 0,027556+0,002916+0,026896+0,000196+0,004356 = 0,061920.
A variância amostral é
s^2=\frac{0,061920}{n-1}=\frac{0,061920}{4}=0,015480.
Logo o desvio padrão amostral é
s=\sqrt{0,015480}\approx 0,1244\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2.]

Passo 5

Agora calculamos a incerteza da média (erro padrão):
s_{\bar{x}}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{0,1244}{\sqrt{5}}=\frac{0,1244}{2,23607}\approx 0,0557\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2.

Passo 6

Regra prática de apresentação: arredonda-se a incerteza para uma ou duas cifras significativas (uma cifra é suficiente na maioria dos casos; se o primeiro dígito for 1 ou 2 pode-se manter duas cifras). Aqui s_{\bar{x}}\approx 0,0557, o primeiro dígito é 5, então arredondamos para uma cifra significativa: 0,06\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2. Ajustamos a média para a mesma casa decimal (duas casas decimais, pois 0,06 tem duas casas decimais):
\bar{x}\approx 9,73\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2.
Se quiser, podemos também escrever a estimativa com mais casas e a incerteza não arredondada:
\bar{x}=9,734\pm 0,0557\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2,
mas a forma arredondada e convencional é
g = 9,73 \pm 0,06\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2.

Resposta

g = 9,73 \pm 0,06\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2

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