O lucro de um empreendimento ao longo do tempo t é modelado pela função f(t)=t+54 t^wed>=(1 / 2). Então o lucro médio entre t=0 e t=4 é igual a ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir o lucro médio de um empreendimento entre o tempo t = 0 e t = 4 . A função que descreve o lucro ao longo do tempo é f(t) = t + 54 raizt . Para resolver isso, vamos usar o conceito de média de uma função no cálculo, que nos ajuda a encontrar o valor médio que a função assume em um intervalo específico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a média de uma função. A fórmula para encontrar o lucro médio a de uma função f(t) no intervalo de t = a a t = b é:
a = 1b - a integrala^b f(t) , dt
No nosso caso, a = 0 e b = 4 , então a fórmula fica:
a = 14 - 0 integral0^4 ( t + 54 raizt ) dt

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral integral0^4 ( t + 54 raizt ) dt . Para isso, vamos integrar cada termo separadamente.
Primeiro, a integral de t em relação a t :
integral t , dt = t^22
Segundo, a integral de 54 raizt em relação a t . Sabemos que raizt = t^1/2 , então:
integral 54 t^1/2 , dt = 54 cdot 23 t^3/2 = 36 t^3/2

Passo 4

Agora, somamos as duas integrais:
integral0^4 ( t + 54 raizt ) dt = [ t^22 + 36 t^3/2 ]0^4
Isso significa que vamos avaliar a expressão t^22 + 36 t^3/2 nos limites de t = 4 e t = 0 e depois subtrair:
( 4^22 + 36 cdot 4^3/2 ) - ( 0^22 + 36 cdot 0^3/2 ) = ( 162 + 36 cdot 8 ) - (0 + 0) = 8 + 288 = 296

Passo 5

Agora que temos a integral calculada, voltamos à fórmula da média:
a = 14 cdot 296 = 74

Resposta

O lucro médio entre t = 0 e t = 4 é igual a 74.

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