Após muita polèmica, em 2016 o Supremo Tribunal Federal (STF) autorizou o Exército a incluir nos editais de seus próximos concursos no pais a exigència de altura minima para os candidatos. O argumento do STF è que a altura minima é necessária para impor respeito na função. Para as Forças Armadas, o candidato não pode ter menos do que 1,60 m (homem) ou 1,55 m (mulher). Todavia, para a Policia Militar do Rio de Janeiro, a exigència é de 1,65 m (homem) ou 1,60 m (mulher). Uma pesquisa cientifica junto à OMS, chamada Um Século de Tendências na Altura Humana, encontrou para brasileiros adultos os seguintes dados:
Homens: média =173 cm, desvio padrão =7 cm;
Mulheres: média =160 cm, desvio padrào =3 cm.
Supondo que a altura pode ser modelada como uma Normal e usando os dados da pesquisa,
Se houver favorecimento para o sexo masculino, encontre as alturas minimas para mulheres de forma que o processo de admissão seja igualitário.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que homens têm altura (média 173 cm e desvio de 7 cm) e mulheres . Os concursos pedem um mínimo de altura para os homens (por exemplo, 160 cm no Exército e 165 cm na PM-RJ), mas daí fica injusto pras minas, certo? A ideia é achar, para cada corte masculino , um corte feminino tal que a probabilidade de um homem passar seja igual à probabilidade de uma mulher passar. Vamos usar conceito de Normal, padronização (z-score) e inversa de distribuição.

Passo 2

Calcular a probabilidade de um homem ser aceito dado o corte Z = Xm - 1737 :
  1. Padronizamos:
pm = P(Xm >= hm) = Pl(Z >= hm - 1737r)
  1. A probabilidade de passar é
P(Xf >= hf) = pm
Depois, vamos achar tal que

Passo 3

  1. Z-score masculino:
zm = 160 - 1737 = -tfrac137 approx -1,857
  1. Probabilidade de um homem passar:
pm = P(Z >= -1,857) = P(Z <= +1,857)approx 0,9684
  1. Para a mulher, queremos
Pl(tfracXf - 1603 >= zfr) = 0,9684 Longrightarrow P(Z >= zf) = 0,9684
  1. Da tabela, hf = 160 + 3cdot(-1,857)approx 160 - 5,571 = 154,43 cm , logo .
  2. Desfazendo a padronização:

Passo 4

  1. Z-score masculino:
zm = 165 - 1737 = -tfrac87approx -1,143
  1. Probabilidade de um homem passar:
pm = P(Z >= -1,143) = P(Z <= +1,143)approx 0,873
  1. Queremos hf = 160 + 3cdot(-1,143)approx 160 - 3,429 = 156,57 cm . Então , logo .
  2. Despadronizando para a mulher:

Resposta

Para igualar a chance de ingresso:
  • No Exército (homem 160 cm) a mulher deveria ter corte mínimo de cerca de 154,4 cm.
  • Na PM-RJ (homem 165 cm) a mulher deveria ter corte mínimo de cerca de 156,6 cm.

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