Uma variável aleatória X tem Função Geradora de Momentos dada por:
MX(t)=e^(alpha t+beta^2 t^22) para t in R, alpha in R e beta>0
Prove que Y=(X-alpha) / beta é uma variável aleatória de média zero e variância um utilizando:
ii) As propriedades de esperança e variância.

Passo 1

Beleza, aqui o que o enunciado pede é: a variá­vel aleatória X tem MGF
MX(t)=e^l(alpha t + tfracbeta^2 t^22r), tin R,;alphain R,;beta>0
Precisamos provar, usando só propriedades de esperança e variância (sem mexer direto na MGF agora), que
Y = X-alphabeta
tem esperança zero e variância igual a 1.
Conteúdo envolvido:
  • Como achar e a partir da MGF (derivadas em ).
  • Propriedades de transformação linear: e .

Passo 2

Primeiro, bora achar MX(t)=E[e^tX],. Lembra que para uma MGF
E[X]=MX'(0)e E[X^2]=MX''(0)
vale
MX(t)=exp!l(alpha t + tfracbeta^2t^22r);Longrightarrow;MX'(t) = MX(t),l(alpha+beta^2 tr)
Então derivamos:
E[X]=MX'(0)=MX(0),(alpha+0)=1cdotalpha=alpha
Em :
(E lembre que .)

Passo 3

Agora a variância de MX''(t)=ddtl[MX(t),(alpha+beta^2t)r] = MX(t),(alpha+beta^2t)^2 + MX(t),beta^2. Primeiro achamos MX''(0)=1cdot(alpha^2+ beta^2)=alpha^2+beta^2:
Var[X]=E[X^2]-l(E[X]r)^2 =(alpha^2+beta^2)-alpha^2 =beta^2
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Passo 4

Agora olha E[Y]=El[tfrac1betaX - tfracalphabetar] =tfrac1betaE[X] - tfracalphabeta =tfracalphabeta-tfracalphabeta=0. Usamos propriedades lineares:
  1. Esperança:
Var[Y]=Varl(tfrac1betaX - tfracalphabetar) =l(tfrac1betar)^2Var[X] =tfrac1beta^2,beta^2 =1
  1. Variância:

Resposta

Y tem esperança e variância .

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