Uma variável aleatória
tem Função Geradora de Momentos dada por:
Prove que
é uma variável aleatória de média zero e variância um utilizando:
ii) As propriedades de esperança e variância.
Prove que
ii) As propriedades de esperança e variância.
Passo 1
Beleza, aqui o que o enunciado pede é: a variável aleatória X tem MGF
Precisamos provar, usando só propriedades de esperança e variância (sem mexer direto na MGF agora), que
tem esperança zero e variância igual a 1.
Conteúdo envolvido:
Conteúdo envolvido:
- Como achar
e a partir da MGF (derivadas em ). - Propriedades de transformação linear:
e .
Passo 2
Primeiro, bora achar
. Lembra que para uma MGF
vale
Então derivamos:
Em
:
(E lembre que
.)
Passo 3
Agora a variância de
. Primeiro achamos
:
Logo
Passo 4
Agora olha
. Usamos propriedades lineares:
- Esperança:
- Variância:
Resposta
Y tem esperança
e variância
.