Seja X sim U(1,4) e seja Y=ln X.
Calcule a Função Distribuição de Y e logo, a partir dela, calcule a densidade de Y.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. A gente tem uma v.a. X que é uniforme em [1,4], ou seja
Y = ln X. Depois define-se
FX(x)=P(X<= x)=0,&x<1, tfracx-14-1,&1<= x<=4,1,&x>4,
O que precisamos é:
  1. Calcular a função distribuição de Y, FY(y)=P(Y<= y)=P(ln X<= y)=Pl(X<= e^yr)=FXl(e^yr).
  2. A partir dela, tirar a densidade .
Conteúdo envolvido: transformação de variáveis aleatórias, distribuição acumulada e derivação para achar a densidade. Vamos precisar saber que, para X uniforme em [1,4],
e usar a relação geral

Passo 2

Agora vamos montar FX(e^y)=e^y-14-1=e^y-13.
  1. Se FY(y)=P(Y<= y) = 0,&y<0, dfrace^y-13,&0<= y<= ln4, 1,&y>ln4 , então e .
  2. Se , então . Usamos
  1. Se , então e .
Juntando tudo:

Passo 3

Para achar a densidade de Y, basta derivar fY(y)=ddyFY(y) =ddyl(tfrace^y-13r) =e^y3 em cada parte interior do suporte. A única parte que varia é para :
Fora desse intervalo, a derivada é zero (porque é constante).

Resposta

Função distribuição de Y:
FY(y)= 0,&y<0, dfrace^y-13,&0<= y<= ln4, 1,&y>ln4
Densidade de Y:
fY(y)= dfrace^y3,&0<= y<= ln4, 0,&caso contrário á

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