Seja e seja .
Calcule a Função Distribuição de e logo, a partir dela, calcule a densidade de .
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. A gente tem uma v.a. X que é uniforme em [1,4], ou seja . Depois define-se
O que precisamos é:
Calcular a função distribuição de Y, .
A partir dela, tirar a densidade .
Conteúdo envolvido: transformação de variáveis aleatórias, distribuição acumulada e derivação para achar a densidade. Vamos precisar saber que, para X uniforme em [1,4],
e usar a relação geral
Passo 2
Agora vamos montar FX(e^y)=e^y-14-1=e^y-13.
Se FY(y)=P(Y<= y) = 0,&y<0, dfrace^y-13,&0<= y<= ln4, 1,&y>ln4 , então e .
Se , então . Usamos
Se , então e .
Juntando tudo:
Passo 3
Para achar a densidade de Y, basta derivar fY(y)=ddyFY(y) =ddyl(tfrace^y-13r) =e^y3 em cada parte interior do suporte. A única parte que varia é para :
Fora desse intervalo, a derivada é zero (porque é constante).
Resposta
Função distribuição de Y:
FY(y)= 0,&y<0, dfrace^y-13,&0<= y<= ln4, 1,&y>ln4
Densidade de Y:
fY(y)= dfrace^y3,&0<= y<= ln4, 0,&caso contrário á