Após a realização de testes em um sistema desconhecido, foi determinado que sua resposta ao impulso é dada por h(t)=\left(e^{2 t}+e^{-t}\right) u(t). Qual será a resposta do mesmo sistema à entrada x(t)=3 e^{-2 t} u(t), sabendo que o processo é linear e invariante no tempo?

Passo 1

O enunciado fornece um sistema LTI causal com resposta ao impulso
h(t) = \bigl(e^{2t} + e^{-t}\bigr)\,u(t)
e pede a saída y(t) quando aplicamos a entrada
x(t) = 3\,e^{-2t}\,u(t).
Para resolver, vamos usar a definição de convolução de sinais contínuos.

Passo 2

A saída de um sistema LTI é dada por
y(t) \;=\;(h * x)(t) \;=\;\int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)\,x(t-\tau)\,d\tau.

Passo 3

Como h(\tau) e x(t-\tau) são ambos multiplicados por u(\cdot), são nulos fora de \tau\ge0 e t-\tau\ge0. Logo os limites viram de 0 a t:
y(t) = \int_{0}^{t} \bigl(e^{2\tau} + e^{-\tau}\bigr)\,\bigl(3\,e^{-2\,(t-\tau)}\bigr)\,d\tau.

Passo 4

Colocando em evidência 3\,e^{-2t} e simplificando as potências:
y(t) = 3\,e^{-2t}\,\int_{0}^{t} \bigl(e^{2\tau} + e^{-\tau}\bigr)\,e^{2\tau}\;d\tau =3\,e^{-2t}\,\int_{0}^{t}\bigl(e^{4\tau}+e^{\tau}\bigr)\,d\tau.

Passo 5

Calculemos as integrais separadas:
\int_{0}^{t} e^{4\tau}\,d\tau = \frac{1}{4}\bigl(e^{4t}-1\bigr), \qquad \int_{0}^{t} e^{\tau}\,d\tau = e^{t}-1.
Somando,
\int_{0}^{t}\bigl(e^{4\tau}+e^{\tau}\bigr)\,d\tau =\frac{1}{4}e^{4t}+e^{t}-\frac{5}{4}.

Passo 6

Multiplicando por 3\,e^{-2t} e reorganizando:
y(t) =3\,e^{-2t}\Bigl(\tfrac{1}{4}e^{4t}+e^{t}-\tfrac{5}{4}\Bigr) =\frac{3}{4}e^{2t}+3\,e^{-t}-\frac{15}{4}e^{-2t},
e incluindo a causalidade u(t).

Resposta

y(t) = \Bigl(\tfrac{3}{4}e^{2t} \;+\;3\,e^{-t}\;-\;\tfrac{15}{4}e^{-2t}\Bigr)\,u(t).

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