Calcule a saída y(t) à aplicação da entrada x(t) no sistema com resposta ao impulso h(t), sendo
\begin{aligned} x(t) & =e^{2 t} u(t) \\\ h(t) & =\left(e^{-t}-e^{2 t}\right) u(t) \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a saída y(t) de um sistema LTI causal cuja entrada é
x(t)=e^{2t}u(t)
e cuja resposta ao impulso é
h(t)=\bigl(e^{-t}-e^{2t}\bigr)u(t).
O assunto é convolução de sinais causais, e vamos usar
y(t)=x(t)\ast h(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau,
lembrando que a presença de u(\cdot) limita a integral a 0\le\tau\le t quando t\ge0.

Passo 2

Escrevendo a convolução para t\ge0, temos
y(t)=\int_{0}^{t}e^{2\tau}\Bigl(e^{-(t-\tau)}-e^{2(t-\tau)}\Bigr)\,d\tau
e para t<0 vale y(t)=0, pois os sinais são causais.

Passo 3

Separamos a integral em dois termos:
y(t) =\int_{0}^{t}e^{2\tau}e^{-(t-\tau)}\,d\tau \;-\; \int_{0}^{t}e^{2\tau}e^{2(t-\tau)}\,d\tau.
No primeiro termo o integrando é e^{2\tau-(t-\tau)}=e^{3\tau-t}.
No segundo termo o integrando é e^{2\tau+2(t-\tau)}=e^{2t}.

Passo 4

Calculamos cada integral separadamente:
  1. Primeiro termo
\int_{0}^{t}e^{3\tau-t}\,d\tau =e^{-t}\int_{0}^{t}e^{3\tau}\,d\tau =e^{-t}\frac{e^{3t}-1}{3} =\frac{e^{2t}-e^{-t}}{3}.
  1. Segundo termo
\int_{0}^{t}e^{2t}\,d\tau =e^{2t}\int_{0}^{t}d\tau =t\,e^{2t}.

Passo 5

Substituindo de volta em y(t) e lembrando o fator u(t), obtemos
y(t) =\frac{e^{2t}-e^{-t}}{3} -\,t\,e^{2t},
para t\ge0, logo
y(t) =\Bigl(\tfrac{e^{2t}-e^{-t}}{3}-t\,e^{2t}\Bigr)u(t).

Resposta

y(t)=\Bigl(\tfrac{e^{2t}-e^{-t}}{3}-t\,e^{2t}\Bigr)u(t).

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