Calcule a saída y(t) à aplicação da entrada x(t) no sistema com resposta ao impulso h(t), sendo
\begin{aligned} x(t) & =\left(e^{t}+e^{-2 t}\right) u(t) \\\ h(t) & =e^{-t} u(t-1) \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede a saída y(t) do sistema LTI cuja resposta ao impulso é
h(t)=e^{-t}u(t-1)
quando a entrada é
x(t)=\bigl(e^{t}+e^{-2t}\bigr)u(t).
O método padrão é usar a convolução
y(t)=(x*h)(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau.
Vamos precisar levar em conta os fatores u(\cdot) para determinar os limites da integral.

Passo 2

Escrevendo a convolução e impondo as condições de suporte:
x(\tau)=0\;\text{se }\tau<0,\quad h(t-\tau)=0\;\text{se }t-\tau<1\;\bigl(\text{i.e. }\tau>t-1\bigr).
Logo a região não nula é
0\le\tau\le t-1,
que só existe quando t-1\ge0, isto é t\ge1. Portanto
y(t)= \begin{cases} \displaystyle\int_{0}^{\,t-1}\bigl(e^{\tau}+e^{-2\tau}\bigr)\,e^{-(t-\tau)}\,d\tau,&t\ge1,\\\\ 0,&t<1. \end{cases}

Passo 3

No integrando, fatoramos e^{-(t-\tau)}:
\bigl(e^{\tau}+e^{-2\tau}\bigr)e^{-(t-\tau)} =e^{-t}\bigl(e^{2\tau}+e^{-\tau}\bigr).
Assim para t\ge1:
y(t)=e^{-t}\int_{0}^{\,t-1}\bigl(e^{2\tau}+e^{-\tau}\bigr)\,d\tau.

Passo 4

Calçando as integrais separadamente:
\int e^{2\tau}d\tau=\tfrac12e^{2\tau},\qquad \int e^{-\tau}d\tau=-e^{-\tau}.
Logo
\int_{0}^{\,t-1}\bigl(e^{2\tau}+e^{-\tau}\bigr)d\tau =\Bigl[\tfrac12e^{2\tau}-e^{-\tau}\Bigr]_{0}^{\,t-1} =\tfrac12e^{2(t-1)}-e^{-(t-1)}-\bigl(\tfrac12-1\bigr) =\tfrac12e^{2t-2}-e^{-t+1}+\tfrac12.

Passo 5

Multiplicando por e^{-t} e reunindo: para t\ge1
y(t) =e^{-t}\Bigl(\tfrac12e^{2t-2}-e^{-t+1}+\tfrac12\Bigr) =\tfrac12e^{t-2}-e^{-2t+1}+\tfrac12e^{-t}.
Para t<1, y(t)=0. Em função do passo de Heaviside:
y(t)=\Bigl(\tfrac12e^{t-2}-e^{-2t+1}+\tfrac12e^{-t}\Bigr)\,u(t-1).

Resposta

y(t)= \begin{cases} \tfrac12e^{t-2}-e^{-2t+1}+\tfrac12e^{-t},&t\ge1,\\\\ 0,&t<1. \end{cases}

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