Após o salto, um pára-quedista abre o seu pára-quedas com uma velocidade inicial de 10 , sendo que ele e seu pára-quedas pesam 50 kg . Nessas condições, e supondo que a força da resistência do ar seja dada por , em que é a velocidade do pára-quedista no instante , mostra-se que e que
a) Com o objetivo de determinar , obtenha inicialmente constantes e tais que
b) Usando o item (a) e lembrando a igualdade , calcule uma primitiva para a função .
c) Usando os dados do problema e os itens anteriores, determine a função .
Passo 1
O enunciado apresenta uma EDO separável para a velocidade do pára-quedista após a abertura do equipamento, de modo que se mostra
e pede
(a) a decomposição em frações parciais de ,
(b) uma primitiva de e
(c) a solução .
Vamos usar frações parciais, a regra da derivada do logaritmo e a integração de EDO separável.
Passo 2
Queremos tais que
Multiplicando por e igualando coeficientes,
Assim
implica e , logo
Passo 3
Com isso,
Cada termo é da forma . Portanto, uma primitiva de é
Passo 4
Integramos ambos os lados da EDO:
integral v'(t)v(t)^2-25,dt = integral -0.4,dt ;Longrightarrow; 110lnv(t)-5v(t)+5 = -0.4,t + C
Multiplicando por 10 e exponenciando,
lnv(t)-5v(t)+5 = -4t + C1 ;Longrightarrow; v(t)-5v(t)+5 = K e^-4t,