Após o salto, um pára-quedista abre o seu pára-quedas com uma velocidade inicial de 10 m / s, sendo que ele e seu pára-quedas pesam 50 kg . Nessas condições, e supondo que a força da resistência do ar seja dada por 20 v(t)^2, em que v(t) é a velocidade do pára-quedista no instante t, mostra-se que v(t)>5 e que
v^prime(t)v(t)^2-25=-0,4, forall t>0
a) Com o objetivo de determinar v(t), obtenha inicialmente constantes A e B tais que
1x^2-25=Ax-5+Bx+5 forall x neq pm 5
b) Usando o item (a) e lembrando a igualdade dd t ln (f(t))=f^prime(t)f(t), calcule uma primitiva para a função v^prime(t)v(t)^2-25.
c) Usando os dados do problema e os itens anteriores, determine a função v(t).

Passo 1

O enunciado apresenta uma EDO separável para a velocidade v(t) do pára-quedista após a abertura do equipamento, de modo que se mostra
v'(t)v(t)^2 -25 = -0.4, v(0)=10,
e pede
(a) a decomposição em frações parciais de tfrac1x^2-25,
(b) uma primitiva de tfracv'(t)v(t)^2-25 e
(c) a solução v(t).
Vamos usar frações parciais, a regra da derivada do logaritmo e a integração de EDO separável.

Passo 2

Queremos A,B tais que
1x^2 -25 = Ax-5 + Bx+5
Multiplicando por (x-5)(x+5) e igualando coeficientes,
1 = A(x+5) + B(x-5) = (A+B)x + (5A-5B)
Assim
A+B = 0, 5A-5B = 1
implica B=-A e 2A=tfrac15, logo
A = tfrac110, B = -tfrac110

Passo 3

Com isso,
v'(t)v(t)^2-25 = 110,v'(t)v(t)-5 - 110,v'(t)v(t)+5
Cada termo é da forma ddtln|v(t)pm5|. Portanto, uma primitiva de v'(t)v(t)^2-25 é
110lnl|v(t)-5r| - 110lnl|v(t)+5r| = 110lnv(t)-5v(t)+5

Passo 4

Integramos ambos os lados da EDO:
integral v'(t)v(t)^2-25,dt = integral -0.4,dt ;Longrightarrow; 110lnv(t)-5v(t)+5 = -0.4,t + C
Multiplicando por 10 e exponenciando,
lnv(t)-5v(t)+5 = -4t + C1 ;Longrightarrow; v(t)-5v(t)+5 = K e^-4t,
onde K=e^C1. Pela condição inicial v(0)=10 vem
K = 10-510+5 = 13
Logo
v(t)-5v(t)+5 = 13e^-4t ;Longrightarrow; v(t)l(3 - e^-4tr) = 5l(3 + e^-4tr),
e portanto
v(t) = 5,3 + e^-4t3 - e^-4t

Resposta

v(t) = 5,3 + e^-4t3 - e^-4t

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