O volume de ar V(t) nos pulmões no instante t, medido em litros, pode ser modelado supondo-se que a sua taxa de variação V^prime(t) seja dada por uma função periódica V^prime(t)= a sen(b t), em que a e b são constantes. Supondo ainda que a taxa de variação máxima seja de 0.5 L / s e que um ciclo respiratório completo, de iguais períodos de inalação e exalação, tenha a duração de 5 s ,
a) determine as constantes a e b.
b) determine a função V(t) supondo que V(0)=0.
c) determine o volume de ar inalado durante um período de inalação.

Passo 1

O enunciado diz que
V'(t)=asen(bt)
é uma função senoidal cujo valor máximo de V'(t) é 0,5,L/s e que o período completo (um ciclo de inalação + exalação) é 5,s.
Para resolver precisamos lembrar que, numa função do tipo Asin(omega t):
– a amplitude (valor máximo) é |A|.
– o período T satisfaz T=2piomega.

Passo 2

Como a amplitude de V'(t) é |a| e ela deve ser 0,5, temos
a = 0,5
Como o período é 5,s, e em nosso caso omega=b, vale
5 = 2pib Longrightarrow b = 2pi5

Passo 3

Para obter V(t), integramos
V'(t)=asen(bt)
e obtemos
V(t) = integral asen(bt),dt = -abcos(bt) + C
Como V(0)=0, substituindo t=0
0 = -abcos(0) + C = -ab + C Longrightarrow C = ab
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V(t) = abl(1 - cos(bt)r)
Substituindo a=0,5 e b=2pi/5, fica
V(t) = 0,52pi/5l(1 - cos(2pi t/5)r) = 54pil(1 - cosl(tfrac2pi t5r)r)

Passo 4

O volume inalado num período de inalação é a variação de V de t=0 até t=T/2=2,5,s:
Vl(2,5r)-V(0) = abl(1-cos(bcdot2,5)r) = abl(1-cos(pi)r) = ab(1-(-1)) = 2ab
Substituindo a=0,5 e b=2pi/5:
2cdot0,52pi/5 = 12pi/5 = 52pi L

Resposta

(a) a=0,5, \quad b=tfrac2pi5
(b)
V(t)=54pil(1-cosl(tfrac2pi t5r)r)
(c) Volume inalado =tfrac52pi,L approx0,796,L.

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