Após t horas no emprego, um operário é capaz de produzir
unidades por hora. Quantas unidades o operário produz nas primeiras 3 horas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão diz que a função de produção do operário é
unidades por hora, onde
é o tempo em horas. A gente precisa descobrir quantas unidades ele produz nas primeiras 3 horas. Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral, que ajuda a encontrar a quantidade total a partir de uma taxa de produção.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a função
nos dá a quantidade de unidades que o operário produz em uma hora específica após
horas de trabalho. Para achar o total produzido nas primeiras 3 horas, precisamos somar todas essas produções ao longo desse período. Isso é feito calculando a integral de
de
até
.
Passo 3
Vamos escrever a integral que representa o total de unidades produzidas nas primeiras 3 horas:
Passo 4
Agora, precisamos calcular essa integral. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
Vamos identificar partes da nossa função para usar nessa fórmula:
- Seja
, então - Seja
, então
Passo 5
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Simplificando:
Calculando a segunda integral:
Então:
Passo 6
Voltando à nossa integral original, multiplicamos tudo por 100:
Isso significa que precisamos avaliar a expressão dentro dos colchetes de
até
.
Passo 7
Vamos calcular em
:
E em
:
Então:
Passo 8
Agora, vamos calcular numericamente. Sabemos que
. Substituindo:
Resposta
O operário produz aproximadamente 176,87 unidades nas primeiras 3 horas.