Após t horas no emprego, um operário é capaz de produzir P(t)=100 te^-0,5 t unidades por hora. Quantas unidades o operário produz nas primeiras 3 horas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão diz que a função de produção do operário é P(t)=100 t e^-0,5 t unidades por hora, onde t é o tempo em horas. A gente precisa descobrir quantas unidades ele produz nas primeiras 3 horas. Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral, que ajuda a encontrar a quantidade total a partir de uma taxa de produção.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a função P(t) nos dá a quantidade de unidades que o operário produz em uma hora específica após t horas de trabalho. Para achar o total produzido nas primeiras 3 horas, precisamos somar todas essas produções ao longo desse período. Isso é feito calculando a integral de P(t) de t = 0 até t = 3.

Passo 3

Vamos escrever a integral que representa o total de unidades produzidas nas primeiras 3 horas:
Total = integral0^3 100 t e^-0,5 t , dt

Passo 4

Agora, precisamos calcular essa integral. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos identificar partes da nossa função para usar nessa fórmula:
  • Seja u = t, então du = dt
  • Seja dv = e^-0,5 t , dt, então v = integral e^-0,5 t , dt = -2 e^-0,5 t

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral t e^-0,5 t , dt = t cdot (-2 e^-0,5 t) - integral (-2 e^-0,5 t) , dt
Simplificando:
= -2 t e^-0,5 t + 2 integral e^-0,5 t , dt
Calculando a segunda integral:
integral e^-0,5 t , dt = -2 e^-0,5 t
Então:
= -2 t e^-0,5 t + 2 (-2 e^-0,5 t) = -2 t e^-0,5 t -4 e^-0,5 t + C

Passo 6

Voltando à nossa integral original, multiplicamos tudo por 100:
Total = 100 [ -2 t e^-0,5 t -4 e^-0,5 t ]0^3
Isso significa que precisamos avaliar a expressão dentro dos colchetes de t = 0 até t = 3.

Passo 7

Vamos calcular em t = 3:
-2 cdot 3 cdot e^-0,5 cdot 3 -4 e^-0,5 cdot 3 = -6 e^-1,5 -4 e^-1,5 = -10 e^-1,5
E em t = 0:
-2 cdot 0 cdot e^0 -4 e^0 = 0 -4 = -4
Então:
Total = 100 [ (-10 e^-1,5) - (-4) ] = 100 ( -10 e^-1,5 + 4 )

Passo 8

Agora, vamos calcular numericamente. Sabemos que e^-1,5 approx 0,22313. Substituindo:
Total = 100 ( -10 times 0,22313 + 4 ) = 100 ( -2,2313 + 4 ) = 100 times 1,7687 = 176,87

Resposta

O operário produz aproximadamente 176,87 unidades nas primeiras 3 horas.

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