Exercício 1.8.6 Para cada par de funções abaixo, calcule f+g, f-g, f g, f / g, g / f, f circ g, g circ f e k f (onde k é uma constante) e escreva o conjunto domínio de cada uma das novas funções encontradas.
f(x)=raizx+4 eg g(x)=x^2-4;

Passo 1

O enunciado pede para f(x)= raizx+4 e g(x)= x^2-4 calcular as operações f+g, f−g, fg, f/g, g/f, f∘g, g∘f e kf (k constante), e determinar o domínio de cada uma. O conteúdo envolve operações entre funções (soma, subtração, produto, quociente, composição) e análise de domínio.

Passo 2

Para soma e subtração temos:
f+g:
f(x)+g(x)=raizx+4+(x^2-4)
Domínio: é a interseção de Dom(f) e Dom(g). Dom(f) exige x+4\ge0 ⇒ x\ge-4; Dom(g)=\mathbb{R}. Logo Dom(f+g)=[-4,∞).
f−g:
f(x)-g(x)=raizx+4-(x^2-4)
Domínio: mesmo raciocínio, Dom(f−g)=[-4,∞).

Passo 3

Para produto e multiplicação por constante:
fg:
f(x)cdot g(x)=raizx+4,(x^2-4)
Domínio: x+4\ge0 ⇒ x\ge-4. Logo Dom(fg)=[-4,∞).
kf:
kf(x)=k,raizx+4
Domínio: só requer x+4\ge0 ⇒ Dom(kf)=[-4,∞).

Passo 4

Para os quocientes:
f/g:
f(x)g(x)=raizx+4x^2-4
Condições: x+4\ge0 ⇒ x\ge-4; denominador ≠0 ⇒ x^2-4≠0 ⇒ x≠2, x≠-2. Logo Dom(f/g)=[-4,-2)∪(-2,2)∪(2,∞).
g/f:
g(x)f(x)=x^2-4raizx+4
Condições: x+4>0 (para √≠0) ⇒ x>-4; numerador não importa. Logo Dom(g/f)=(-4,∞).

Passo 5

Para as composições:
f∘g:
f(g(x))=raiz(x^2-4)+4=raizx^2=|x|
Domínio: g(x) pode ser qualquer real e faz (x2-4)+4=x2≥0 sempre. Logo Dom(f∘g)=\mathbb{R}.
g∘f:
g(f(x))=(raizx+4)^2-4=(x+4)-4=x
Domínio: f(x) existe se x+4\ge0 ⇒ x\ge-4; g aceita qualquer valor. Logo Dom(g∘f)=[-4,∞).

Resposta

f+g(x)=\sqrt{x+4}+x^2-4, Dom=[-4,∞);
f−g(x)=\sqrt{x+4}-(x^2-4), Dom=[-4,∞);
fg(x)=\sqrt{x+4},(x^2-4), Dom=[-4,∞);
f/g(x)=\dfrac{\sqrt{x+4}}{x^2-4}, Dom=[-4,-2)∪(-2,2)∪(2,∞);
g/f(x)=\dfrac{x^2-4}{\sqrt{x+4}}, Dom=(-4,∞);
f∘g(x)=|x|, Dom=\mathbb{R};
g∘f(x)=x, Dom=[-4,∞);
kf(x)=k,\sqrt{x+4}, Dom=[-4,∞).

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