Após tirar os pés dos pedais, a roda da frente de uma bicicleta gira 400 vezes durante o primeiro minuto e em cada um dos minutos seguintes ela gira
do que girou no período anterior. Supondo este processo infinito, determine o número de voltas da roda até que a bicicleta pare.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente está falando sobre as voltas que a roda da frente de uma bicicleta dá depois que a pessoa para de pedalar. No primeiro minuto, a roda gira 400 vezes, e a cada minuto seguinte, ela gira apenas 3/5 do número de voltas do minuto anterior. Queremos saber quantas voltas a roda dará no total, considerando que esse processo continue para sempre.
Passo 2
Para resolver isso, vamos pensar em uma sequência onde cada termo representa o número de voltas da roda em cada minuto. No primeiro minuto, temos 400 voltas. No segundo minuto, como é 3/5 do primeiro, temos
voltas. No terceiro minuto, será 3/5 do que foi no segundo, e assim por diante.
Passo 3
Essa sequência que estamos descrevendo é uma progressão geométrica infinita. Em uma progressão geométrica, cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão. No nosso caso, a razão
é
.
Passo 4
Sabemos que para somar uma progressão geométrica infinita, a razão precisa ser entre -1 e 1, ou seja,
. Aqui,
, que está dentro desse intervalo, então podemos usar a fórmula da soma infinita.
Passo 5
A fórmula para a soma
de uma progressão geométrica infinita é:
Onde:
-
é o primeiro termo da sequência (no nosso caso, 400 voltas), -
é a razão da progressão (no nosso caso, ).
Passo 6
Agora, vamos substituir os valores na fórmula:
Resposta
Portanto, a roda da bicicleta dará 1.000 voltas até que ela pare completamente.