Após tirar os pés dos pedais, a roda da frente de uma bicicleta gira 400 vezes durante o primeiro minuto e em cada um dos minutos seguintes ela gira 3 / 5 do que girou no período anterior. Supondo este processo infinito, determine o número de voltas da roda até que a bicicleta pare.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente está falando sobre as voltas que a roda da frente de uma bicicleta dá depois que a pessoa para de pedalar. No primeiro minuto, a roda gira 400 vezes, e a cada minuto seguinte, ela gira apenas 3/5 do número de voltas do minuto anterior. Queremos saber quantas voltas a roda dará no total, considerando que esse processo continue para sempre.

Passo 2

Para resolver isso, vamos pensar em uma sequência onde cada termo representa o número de voltas da roda em cada minuto. No primeiro minuto, temos 400 voltas. No segundo minuto, como é 3/5 do primeiro, temos 400 times 35 voltas. No terceiro minuto, será 3/5 do que foi no segundo, e assim por diante.

Passo 3

Essa sequência que estamos descrevendo é uma progressão geométrica infinita. Em uma progressão geométrica, cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão. No nosso caso, a razão r é 35.

Passo 4

Sabemos que para somar uma progressão geométrica infinita, a razão precisa ser entre -1 e 1, ou seja, |r| < 1. Aqui, r = 35 = 0,6, que está dentro desse intervalo, então podemos usar a fórmula da soma infinita.

Passo 5

A fórmula para a soma S de uma progressão geométrica infinita é:
S = a11 - r
Onde:
  • a1 é o primeiro termo da sequência (no nosso caso, 400 voltas),
  • r é a razão da progressão (no nosso caso, 35).

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores na fórmula:
S = 4001 - 35 = 40025 = 400 times 52 = 1000

Resposta

Portanto, a roda da bicicleta dará 1.000 voltas até que ela pare completamente.

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