Após tracionar uma peça de liga de magnésio observa-se que o diâmetro reduz de 20 mm para 19,9837 \mathrm{~mm}. Encontre a deformação longitudinal (ao longo do comprimento) da peça.
[Resposta: 2,72(10-³)]

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a deformação longitudinal:
  • Diâmetro inicial: D_0 = 20\\ \mathrm{mm}.
  • Diâmetro final após tração: D = 19{,}9837\\ \mathrm{mm}.
    O que se pede: encontrar a deformação longitudinal (axial) da peça, ou seja a deformação ao longo do comprimento, geralmente denotada por \varepsilon_{\text{long}}.

Passo 2

Entendendo as deformações: quando uma barra é tracionada, ela se alonga na direção axial e se estreita nas direções transversais.
  • A deformação transversal (lateral) de engenharia é dada por
\varepsilon_{\text{trans}}=\frac{\Delta D}{D_0}=\frac{D-D_0}{D_0}.
Aqui \varepsilon_{\text{trans}} será negativa (diâmetro diminuiu). Vamos calcular isso com os números fornecidos:
\varepsilon_{\text{trans}}=\frac{19{,}9837-20}{20}=\frac{-0{,}0163}{20}=-0{,}000815.
Então a deformação transversal de engenharia é \varepsilon_{\text{trans}}=-0{,}000815.

Passo 3

Relação entre deformações: para comportamento elástico linear (ou para pequenos alongamentos iniciais) vale a relação de Poisson:
\varepsilon_{\text{trans}}=-\nu\,\varepsilon_{\text{long}},
onde:
  • \varepsilon_{\text{trans}} é a deformação lateral (já calculada),
  • \varepsilon_{\text{long}} é a deformação longitudinal que queremos,
  • \nu é o coeficiente de Poisson do material (número adimensional que relaciona a contração lateral com o alongamento axial).
Como o enunciado não deu \nu, usa-se um valor típico para ligas metálicas de magnésio: \nu\approx0{,}30. Essa é uma suposição física razoável para ligas de magnésio; se um valor diferente de \nu for fornecido, basta substituir e refazer a conta.

Passo 4

Isolando \varepsilon_{\text{long}} da relação de Poisson:
\varepsilon_{\text{long}}=-\frac{\varepsilon_{\text{trans}}}{\nu}.
Substituindo \varepsilon_{\text{trans}}=-0{,}000815 e \nu=0{,}30:
\varepsilon_{\text{long}}=-\frac{-0{,}000815}{0{,}30}=\frac{0{,}000815}{0{,}30}.

Passo 5

Fazendo a divisão:
\varepsilon_{\text{long}}=\frac{0{,}000815}{0{,}30}=0{,}002716\overline{6}\approx0{,}00272.
Em notação científica isso é \,2{,}72\times10^{-3}.
Comentário prático: se em vez de usar a relação de Poisson alguém assumisse conservação de volume (aplicável a deformação plástica incompresível), obteria um valor diferente (cerca de 1{,}63\times10^{-3}). Aqui escolhemos a relação de Poisson porque a variação de diâmetro é muito pequena e o enunciado não indicou ruptura ou grande deformação plástica, além de o resultado esperado fornecido coincidir com o uso de \nu=0{,}30.

Resposta

\,2{,}72\times10^{-3}

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