A peça BCD está apoiada em C e presa a um cabo tensionado BA, de 8 mm de diâmetro. Considerando o carregamento mostrado, determine: a) a força no cabo BA, b) a tensão no cabo BA.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) determinar a força no cabo BA;
(b) determinar a tensão no cabo BA.
O enunciado fornece explicitamente apenas uma informação numérica: o diâmetro do cabo d=8\\ \text{mm}. Diz também que a peça BCD está apoiada em C e presa ao cabo BA, e que existe um carregamento “mostrado” (na figura). Contudo, a figura ou qualquer outro dado numérico (valores de forças, posições, distâncias, ângulos, tipos de apoio em C, etc.) NÃO foram fornecidos nesta mensagem.
Dados que eu tenho:
d=8\\ \text{mm}.
Dados que estão faltando e que são necessários para calcular numericamente a força no cabo:
localizações/coordenas dos pontos A,B,C,D ou distâncias geométricas relevantes;
magnitude, direção e ponto de aplicação de todas as cargas aplicadas à peça BCD (por exemplo pesos, forças pontuais, forças distribuídas, momentos);
tipo exato de apoio em C (pino, apoio simples, rolete) — isto define quantas reações existem em C;
orientação da linha do cabo BA (ângulo) ou coordenadas de A e B.
Sem esses elementos geométricos e os valores das cargas, NÃO é possível obter um valor numérico para a força no cabo BA.
Passo 2
Vou explicar, de forma didática e passo a passo, como resolver esse tipo de problema assim que a figura/dados estiverem disponíveis. Assim, quando você tiver a imagem ou os números, consegue aplicar imediatamente.
Primeiro princípio: modelar a peça BCD como um corpo rígido em equilíbrio estático. O cabo BA transmite uma força de tração T ao longo da sua linha de ação. No corpo livre de BCD, as incógnitas normalmente são:
a força de tração T ao longo de BA (direção conhecida pela linha BA);
as reações no apoio em C: normalmente duas componentes C_x e C_y (se for pino) ou apenas uma (se for rolete) — o tipo de apoio determina quantas incógnitas há.
A estratégia geral é escrever as equações de equilíbrio do corpo rígido:
Essas equações permitirão resolver as incógnitas (entre elas T).
Passo 3
Como escolher a equação que resolve T de forma direta (truque prático):
Faça o diagrama de corpo livre (DCL) da peça BCD isolada, desenhando todas as forças externas: cargas aplicadas (forças puntuais, resultantes de distribuições, pesos), a força de tração T em B dirigida ao longo de BA, e as reações em C.
Para eliminar as reações em C ao resolver para T, tome momentos (por exemplo) em torno de C. Ao tomar momentos em C, as reações em C não produzem momento e desaparecem da equação, deixando uma relação entre T e os momentos das demais cargas em torno de C.
M_{\text{ext},C} é o somatório algébrico dos momentos de todas as forças externas (exceto a tração) em relação a C. Ao somar momentos, respeite sinais (sentidos horário/anti-horário).
r_{B\perp} é o braço de momento (distância perpendicular) do ponto B até a linha de ação da força T. Em outras palavras, é a distância perpendicular entre C e a linha do cabo BA.
Passo 4
Como calcular o braço de momento r_{B\perp} de forma prática (duas formas):
Se o ângulo entre o vetor \overrightarrow{CB} e a linha do cabo BA for \theta, então
r_{B\perp} = |\overrightarrow{CB}|\sin\theta.
Se tiver coordenadas cartesianas A(x_A,y_A), B(x_B,y_B), C(x_C,y_C), uma forma vetorial/analítica é usar produto vetorial 2D:
Explicando a fórmula: o numerador é a magnitude do produto vetorial 2D entre \overrightarrow{CB} e \overrightarrow{BA}; o denominador é o comprimento de \overrightarrow{BA}, resultando na distância perpendicular da linha BA ao ponto C.
Passo 5
Como calcular M_{\text{ext},C}:
Para cada força pontual F_i aplicada em P_i, calcule seu momento em C: M_{i,C} = \vec{r}_{P_i/C}\times\vec{F_i}. Em 2D isto reduz a M_{i,C}=x_{P_i/C}F_{i,y}-y_{P_i/C}F_{i,x}.
Para cargas distribuídas, calcule a resultante da distribuição e sua posição de aplicação (centroide), depois calcule o momento dessa resultante sobre C.
Some algébrica e corretamente (atenção aos sinais de giro).
Então substitua M_{\text{ext},C} e r_{B\perp} na equação do Passo 3 para obter T.
Passo 6
Depois de achar a força T (em newtons), a “tensão no cabo” normalmente significa a tensão normal (esforço) \sigma no material do cabo, obtida dividindo a força pela área da seção transversal do cabo:
\sigma = \frac{T}{A}.
A área transversal do cabo circular de diâmetro d é
A = \frac{\pi d^2}{4}.
No seu caso d=8\\ \text{mm}=0,008\\ \text{m}. Podemos calcular A numericamente:
A = \frac{\pi(0,008)^2}{4} = \pi\cdot\frac{6{,}4\times10^{-5}}{4}=\pi\cdot 1{,}6\times10^{-5}\\ \text{m}^2 \approx 5{,}03\times10^{-5}\\ \text{m}^2.
Logo, uma vez conhecido T (em N),
\sigma=\frac{T}{5{,}03\times10^{-5}}\\ \text{Pa}.
Lembre-se: a unidade de \sigma é pascal (\text{Pa}= \text{N}/\text{m}^2). Se preferir expressar \sigma em \text{MPa}, divida por 10^6.
Passo 7
Resumo prático do procedimento que você deve executar quando tiver a figura/dados:
Desenhar o diagrama de corpo livre da peça BCD com todas as forças externas, a tração T em B e as reações em C.
Escolher um ponto conveniente para tomar momentos (normalmente C se quiser eliminar as reações em C).
Calcular M_{\text{ext},C} (algebricamente).
Calcular o braço r_{B\perp} da linha de ação de T em relação a C.
Calcular T = M_{\text{ext},C}/r_{B\perp}.
Calcular A=\pi d^2/4 com d=8\\ \text{mm} e então \sigma=T/A.
Verificar consistência de sinais e unidades.
Passo 8
Observações finais e dicas para a prova (palavras de amigo):
Sempre desenhe o DCL limpinho; isso evita erros bobos.
Ao tomar momentos, escolha o ponto que zera o máximo de incógnitas (normalmente suporte).
Cheque unidades (mm → m) antes de calcular a área e a tensão.
Se a “tensão” solicitada for a força de tração T e não o esforço \sigma, então a parte (b) do enunciado pode pedir a mesma coisa que (a) — confirme o que o professor quer: força (N) ou tensão/σ (Pa). Aqui mostrei como obter ambos.
Se houver um ângulo conhecido entre BA e os eixos, decompõe T em componentes para usar \sum F_x e \sum F_y se precisar.
Resposta
Não é possível determinar numericamente a força no cabo BA nem a tensão no cabo BA porque a figura com o carregamento e as dimensões/valores necessários (localização das forças, magnitudes, ângulos e distâncias) não foi fornecida.