DESAFIO PARA CASA
UMA FABRICA DE SMARTPHONES TEM UMA LINHA DE MONTAGEM QUE PRODUZ 1.000 UNIDADES POR HORA. O CONTROLE DE QUALIDADE DECIDE ENTĂO VERIFICAR SE HÁ UM PADRĂO DE DEFEITOS QUE AUMENTA COM O TEMPO. ELES MODELAM QUE A PROBABILIDADE DO N-ÉSIMO SMARTPHONE (NA ORDEM DE PRODUÇÃO) TER UM DEFEITO CRÍTICO ́̀:
COMO A PROBABILIDADE DE DEFEITOS ESTA SE COMPORTANDO? O SISTEMA SERA SUSTENTÁVEL À LONGO PRAZO?
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: para cada
a probabilidade do -ésimo smartphone ter defeito é
- Perguntas:
- Como essa probabilidade está se comportando quando
cresce? - O sistema será sustentável a longo prazo (ou seja, a produção manterá uma taxa de defeitos aceitável no futuro)?
- Como essa probabilidade está se comportando quando
Passo 2
Primeiro quero saber se a sequência de probabilidades é crescente, constante ou decrescente. Calculo a diferença entre termos consecutivos:
Faço a conta com calma (passo a passo):
Desenvolvendo o numerador:
Portanto o numerador fica
Logo
Conclusão desta etapa:
é uma sequência estritamente crescente em
.
Passo 3
Agora verifico limites e limites superiores/inferiores (para saber se a sequência converge e para que valor).
-
Positividade: para todo
tem . Então as probabilidades são válidas. -
Comparação com
: calculo a diferença para :
Isso mostra
para todo
. Portanto a sequência é limitada superiormente por
.
- Pela etapa anterior já tenho: sequência crescente e limitada acima por
. Pelo princípio básico de análise (teorema do limite monotônico), toda sequência monotônica crescente e limitada converge; logo existe
Calculo o limite de forma direta dividindo numerador e denominador por
:
Portanto a sequência converge para
.
Passo 4
Interpretação imediata do que já foi mostrado:
- A probabilidade do
-ésimo aparelho ter defeito aumenta com (sequência crescente). - À medida que
cresce muito, essa probabilidade se aproxima de . Exemplos numéricos rápidos: - Para
: (quase zero). - Para
: . - Para
: .
- Para
Ou seja, começa muito baixo (quase nulo) e vai subindo até ficar perto de
.
Passo 5
Agora explico como isso afeta a produção total (porcentagem de defeitos a longo prazo). Suponha que cada peça
é uma tentativa com probabilidade de sucesso (defeito)
. O número esperado de defeitos nos primeiros
aparelhos é, pela linearidade da esperança,
Uma manipulação algébrica útil (para ver o comportamento médio) é reescrever cada termo:
Portanto
Usando a aproximação da soma harmônica
(para
grande), obtemos a estimativa
Dividindo por
para ter a fração esperada de defeitos entre os primeiros
aparelhos:
Conseqüência: a fração esperada de defeitos tende para
quando
. (Formalmente, se
então a média aritmética
— resultado de Cesàro.)
Comentário prático: embora a fração comece muito abaixo de
, o termo corretor decresce lentamente (proporcional a
), logo para N grandes a taxa de defeito efetiva ficará muito próxima de
.
Passo 6
Conclusão prática sobre sustentabilidade:
- Como a probabilidade por peça aumenta com a ordem de produção e tende para
, isso significa que, no longo prazo, cerca de metade dos aparelhos sairá com defeito. - Isso é claramente insustentável para uma linha de produção (taxa de defeitos da ordem de
é inaceitável). - Mesmo que os primeiros aparelhos tenham taxa muito baixa, com o tempo a qualidade piora e se estabiliza perto de
. Se o objetivo for manter baixa a taxa de defeitos, é necessário agir: identificar a causa do aumento com (ex.: desgaste de ferramentas, aquecimento, acúmulo de erro humano, falha de manutenção) e corrigir o processo para impedir que cresça.
Força aí — a matemática mostra o problema de forma clara: sem intervenção, a situação tende a ficar muito ruim.
Resposta
A probabilidade
é uma sequência estritamente crescente em
e converge para
.
Não — o sistema não é sustentável a longo prazo: sem correção do processo, a taxa de defeitos tenderá para cerca de , o que é inaceitável.
Não — o sistema não é sustentável a longo prazo: sem correção do processo, a taxa de defeitos tenderá para cerca de