DESAFIO PARA CASA

UMA FABRICA DE SMARTPHONES TEM UMA LINHA DE MONTAGEM QUE PRODUZ 1.000 UNIDADES POR HORA. O CONTROLE DE QUALIDADE DECIDE ENTĂO VERIFICAR SE HÁ UM PADRĂO DE DEFEITOS QUE AUMENTA COM O TEMPO. ELES MODELAM QUE A PROBABILIDADE DO N-ÉSIMO SMARTPHONE (NA ORDEM DE PRODUÇÃO) TER UM DEFEITO CRÍTICO ́̀:
P\left(X_{n}=\text { defeito }\right)=\frac{n}{2 n+1000}
COMO A PROBABILIDADE DE DEFEITOS ESTA SE COMPORTANDO? O SISTEMA SERA SUSTENTÁVEL À LONGO PRAZO?

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: para cada n=1,2,3,\dots a probabilidade do n-ésimo smartphone ter defeito é
P\bigl(X_{n}=\text{defeito}\bigr)=\frac{n}{2n+1000}.
  • Perguntas:
    1. Como essa probabilidade está se comportando quando n cresce?
    2. O sistema será sustentável a longo prazo (ou seja, a produção manterá uma taxa de defeitos aceitável no futuro)?

Passo 2

Primeiro quero saber se a sequência de probabilidades é crescente, constante ou decrescente. Calculo a diferença entre termos consecutivos:
\frac{n+1}{2(n+1)+1000}-\frac{n}{2n+1000}.
Faço a conta com calma (passo a passo):
\text{dif}=\frac{n+1}{2n+1002}-\frac{n}{2n+1000} =\frac{(n+1)(2n+1000)-n(2n+1002)}{(2n+1002)(2n+1000)}.
Desenvolvendo o numerador:
(n+1)(2n+1000)=2n^2+1002n+1000,
n(2n+1002)=2n^2+1002n.
Portanto o numerador fica
(2n^2+1002n+1000)-(2n^2+1002n)=1000.
Logo
\text{dif}=\frac{1000}{(2n+1002)(2n+1000)}>0.
Conclusão desta etapa: \dfrac{n}{2n+1000} é uma sequência estritamente crescente em n.

Passo 3

Agora verifico limites e limites superiores/inferiores (para saber se a sequência converge e para que valor).
  1. Positividade: para todo n tem 0<\dfrac{n}{2n+1000}<1. Então as probabilidades são válidas.
  2. Comparação com 1/2: calculo a diferença para 1/2:
\frac{n}{2n+1000}-\frac{1}{2} =\frac{2n-(2n+1000)}{2(2n+1000)} =-\frac{1000}{2(2n+1000)}<0.
Isso mostra \dfrac{n}{2n+1000}<\dfrac{1}{2} para todo n. Portanto a sequência é limitada superiormente por 1/2.
  1. Pela etapa anterior já tenho: sequência crescente e limitada acima por 1/2. Pelo princípio básico de análise (teorema do limite monotônico), toda sequência monotônica crescente e limitada converge; logo existe
L=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n+1000}\le\frac{1}{2}.
Calculo o limite de forma direta dividindo numerador e denominador por n:
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n+1000} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2+\dfrac{1000}{n}} =\frac{1}{2}.
Portanto a sequência converge para \dfrac{1}{2}.

Passo 4

Interpretação imediata do que já foi mostrado:
  • A probabilidade do n-ésimo aparelho ter defeito aumenta com n (sequência crescente).
  • À medida que n cresce muito, essa probabilidade se aproxima de 1/2. Exemplos numéricos rápidos:
    • Para n=1: P=\dfrac{1}{2+1000}=\dfrac{1}{1002}\approx0{,}001 (quase zero).
    • Para n=1000: P=\dfrac{1000}{2000+1000}=\dfrac{1000}{3000}=\dfrac{1}{3}\approx0{,}333.
    • Para n\to\infty: P\to\dfrac{1}{2}=0{,}5.
Ou seja, começa muito baixo (quase nulo) e vai subindo até ficar perto de 50\%.

Passo 5

Agora explico como isso afeta a produção total (porcentagem de defeitos a longo prazo). Suponha que cada peça n é uma tentativa com probabilidade de sucesso (defeito) p_n=\dfrac{n}{2n+1000}. O número esperado de defeitos nos primeiros N aparelhos é, pela linearidade da esperança,
\mathbb{E}[D_N]=\sum_{k=1}^N p_k=\sum_{k=1}^N\frac{k}{2k+1000}.
Uma manipulação algébrica útil (para ver o comportamento médio) é reescrever cada termo:
\frac{k}{2k+1000}=\frac{1}{2}\cdot\frac{k}{k+500}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{500}{k+500}\right).
Portanto
\mathbb{E}[D_N]=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^N 1 - \frac{1}{2}\cdot 500\sum_{k=1}^N\frac{1}{k+500} =\frac{N}{2}-250\sum_{k=1}^N\frac{1}{k+500}.
Usando a aproximação da soma harmônica \sum_{k=1}^N\frac{1}{k+500}\approx\ln(N+500)-\ln(500) (para N grande), obtemos a estimativa
\mathbb{E}[D_N]\approx\frac{N}{2}-250\bigl(\ln(N+500)-\ln(500)\bigr).
Dividindo por N para ter a fração esperada de defeitos entre os primeiros N aparelhos:
\frac{\mathbb{E}[D_N]}{N}\approx\frac{1}{2}-\frac{250}{N}\bigl(\ln(N+500)-\ln(500)\bigr).
Conseqüência: a fração esperada de defeitos tende para \dfrac{1}{2} quando N\to\infty. (Formalmente, se p_n\to p então a média aritmética \dfrac{1}{N}\sum_{k=1}^N p_k\to p — resultado de Cesàro.)
Comentário prático: embora a fração comece muito abaixo de 1/2, o termo corretor decresce lentamente (proporcional a (\ln N)/N), logo para N grandes a taxa de defeito efetiva ficará muito próxima de 50\%.

Passo 6

Conclusão prática sobre sustentabilidade:
  • Como a probabilidade por peça aumenta com a ordem de produção e tende para 1/2, isso significa que, no longo prazo, cerca de metade dos aparelhos sairá com defeito.
  • Isso é claramente insustentável para uma linha de produção (taxa de defeitos da ordem de 50\% é inaceitável).
  • Mesmo que os primeiros aparelhos tenham taxa muito baixa, com o tempo a qualidade piora e se estabiliza perto de 50\%. Se o objetivo for manter baixa a taxa de defeitos, é necessário agir: identificar a causa do aumento com n (ex.: desgaste de ferramentas, aquecimento, acúmulo de erro humano, falha de manutenção) e corrigir o processo para impedir que p_n cresça.
Força aí — a matemática mostra o problema de forma clara: sem intervenção, a situação tende a ficar muito ruim.

Resposta

A probabilidade P\bigl(X_{n}=\text{defeito}\bigr)=\dfrac{n}{2n+1000} é uma sequência estritamente crescente em n e converge para \dfrac{1}{2}.
Não — o sistema não é sustentável a longo prazo: sem correção do processo, a taxa de defeitos tenderá para cerca de 50\%, o que é inaceitável.

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