Apply the Gram-Schmidt orthonormalization process to transform the given basis for
into an orthonormal basis. Use the vectors in the order in which they are given.
B=\{(-1,2),(1,0)\}

Passo 1

O enunciado fornece a base B=\{(-1,2),(1,0)\} (na ordem indicada) e pede para aplicar o processo de Gram–Schmidt para obter uma base ortonormal (ou seja, vetores mutuamente ortogonais e de norma 1).
Informações relevantes dadas:
  • Primeiro vetor: v_1 = (-1,2).
  • Segundo vetor: v_2 = (1,0).
    O objetivo é produzir dois vetores \,e_1,e_2 ortonormais obtidos aplicando Gram–Schmidt na ordem v_1,v_2.

Passo 2

Primeiro construímos o primeiro vetor ortonormal \,e_1 a partir de v_1 normalizando v_1.
Cálculo da norma de v_1:
\|v_1\|=\sqrt{(-1)^2+2^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}.
Normalizando:
e_1=\frac{v_1}{\|v_1\|=\sqrt{5}}=\left(-\frac{1}{\sqrt{5}},\;\frac{2}{\sqrt{5}}\right).
Explicação rápida: normalizar significa dividir o vetor pela sua norma para obter comprimento 1.

Passo 3

Agora ortogonalizamos v_2 em relação a e_1. Primeiro calculamos a projeção de v_2 sobre e_1:
o coeficiente da projeção é o produto escalar v_2\cdot e_1.
Produto escalar:
v_2\cdot e_1 = (1,0)\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right) =1\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)+0\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}=-\frac{1}{\sqrt{5}}.
Projeção de v_2 em e_1:
\operatorname{proj}_{e_1}v_2=(v_2\cdot e_1)\,e_1 =-\frac{1}{\sqrt{5}}\left(-\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right) =\left(\frac{1}{5},-\frac{2}{5}\right).
Observação: a projeção é um vetor paralelo a e_1 que representa a componente de v_2 na direção de e_1.

Passo 4

Subtraímos essa projeção de v_2 para obter a componente ortogonal w_2:
w_2 = v_2 - \operatorname{proj}_{e_1}v_2 =(1,0)-\left(\frac{1}{5},-\frac{2}{5}\right) =\left(1-\frac{1}{5},\,0+\frac{2}{5}\right) =\left(\frac{4}{5},\frac{2}{5}\right).
Explicação: w_2 é ortogonal a e_1 por construção.

Passo 5

Agora normalizamos w_2 para obter e_2. Primeiro a norma de w_2:
\|w_2\|=\sqrt{\left(\frac{4}{5}\right)^2+\left(\frac{2}{5}\right)^2} =\sqrt{\frac{16}{25}+\frac{4}{25}} =\sqrt{\frac{20}{25}} =\sqrt{\frac{4}{5}} =\frac{2\sqrt{5}}{5}.
Normalizando:
e_2=\frac{w_2}{\|w_2\|} =\left(\frac{4}{5},\frac{2}{5}\right)\cdot\frac{5}{2\sqrt{5}} =\left(\frac{4}{5}\cdot\frac{5}{2\sqrt{5}},\frac{2}{5}\cdot\frac{5}{2\sqrt{5}}\right) =\left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right).
Portanto \,e_2=\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}},\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right).

Passo 6

Verificação curta (para ter certeza):
  • Produto escalar e_1\cdot e_2:
\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)+\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) =\frac{-2+2}{5}=0,
logo são ortogonais.
  • Normas:
\|e_1\|=1,\qquad \|e_2\|=1
por construção. Portanto \{e_1,e_2\} é uma base ortonormal.

Resposta

\displaystyle \left(-\frac{1}{\sqrt{5}},\;\frac{2}{\sqrt{5}}\right)
\displaystyle \left(\frac{2}{\sqrt{5}},\;\frac{1}{\sqrt{5}}\right)

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