Apply the Gram-Schmidt orthonormalization process to transform the given basis for
into an orthonormal basis. Use the vectors in the order in which they are given.
Passo 1
O enunciado fornece a base
(na ordem indicada) e pede para aplicar o processo de Gram–Schmidt para obter uma base ortonormal (ou seja, vetores mutuamente ortogonais e de norma
).
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- Primeiro vetor:
. - Segundo vetor:
.
O objetivo é produzir dois vetoresortonormais obtidos aplicando Gram–Schmidt na ordem .
Passo 2
Primeiro construímos o primeiro vetor ortonormal
a partir de
normalizando
.
Cálculo da norma de :
Cálculo da norma de
Normalizando:
Explicação rápida: normalizar significa dividir o vetor pela sua norma para obter comprimento
.
Passo 3
Agora ortogonalizamos
em relação a
. Primeiro calculamos a projeção de
sobre
:
o coeficiente da projeção é o produto escalar .
Produto escalar:
o coeficiente da projeção é o produto escalar
Produto escalar:
Projeção de
em
:
Observação: a projeção é um vetor paralelo a
que representa a componente de
na direção de
.
Passo 4
Subtraímos essa projeção de
para obter a componente ortogonal
:
Explicação:
é ortogonal a
por construção.
Passo 5
Agora normalizamos
para obter
. Primeiro a norma de
:
Normalizando:
Portanto
.
Passo 6
Verificação curta (para ter certeza):
- Produto escalar
:
logo são ortogonais.
- Normas:
por construção. Portanto
é uma base ortonormal.