determine whether the set of vectors in boldsymbol{R}^{boldsymbol{n}} is orthogonal, (b) if the set is orthogonal, then determine whether it is also orthonormal, and (c) determine whether the set is a basis for boldsymbol{R}^{boldsymbol{n}}
\{(-6,3,2,1),(2,0,6,0)\}

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • (a) Determinar se o conjunto é ortogonal.
  • (b) Se for ortogonal, determinar se é também ortonormal.
  • (c) Determinar se o conjunto é uma base de \mathbb{R}^{n}.
Informações dadas (pegas do enunciado):
  • Os vetores são \,v_1 = (-6,3,2,1)\, e \,v_2 = (2,0,6,0)\,.
  • Como ambos têm quatro componentes, estamos trabalhando em \mathbb{R}^{4}; ou seja, aqui n=4.

Passo 2

Definição e teste de ortogonalidade:
  • Dois vetores em \mathbb{R}^4 são ortogonais se o produto escalar (dot product) entre eles for zero.
  • Produto escalar: para x=(x_1,x_2,x_3,x_4) e y=(y_1,y_2,y_3,y_4) vale \;x\cdot y = x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3 + x_4y_4.
    Aplicando aos nossos vetores:
v_1\cdot v_2 = (-6)\cdot 2 + 3\cdot 0 + 2\cdot 6 + 1\cdot 0.
Calculemos passo a passo:
(-6)\cdot 2 = -12,\qquad 3\cdot 0 = 0,\qquad 2\cdot 6 = 12,\qquad 1\cdot 0 = 0.
Somando:
v_1\cdot v_2 = -12 + 0 + 12 + 0 = 0.
Como o produto escalar é 0, os vetores são ortogonais.

Passo 3

Definição e teste de ortonormalidade:
  • Um conjunto é ortonormal se os vetores são mutuamente ortogonais e cada vetor tem norma (comprimento) igual a 1.
  • Norma (comprimento) de um vetor v é \;||v|| = \sqrt{v\cdot v}.
    Calculemos as normas:
||v_1|| = \sqrt{(-6)^2 + 3^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{36 + 9 + 4 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}.
||v_2|| = \sqrt{2^2 + 0^2 + 6^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}.
Nenhuma das normas é igual a 1 (ambas são maiores que 1), então, embora ortogonais, os vetores não formam um conjunto ortonormal. (Observação útil: para tornar o conjunto ortonormal bastaria normalizar cada vetor dividindo por sua norma.)

Passo 4

Definição de base e verificação:
  • Um conjunto é base de \mathbb{R}^4 se for linearmente independente e gerar (span) todo \mathbb{R}^4. Em \mathbb{R}^4 isso exige exatamente 4 vetores linearmente independentes.
  • Nosso conjunto tem apenas 2 vetores; por isso não pode gerar todo \mathbb{R}^4. Logo não é uma base de \mathbb{R}^4.
Complemento — linear independência (apenas para confirmar):
  • Qualquer conjunto de vetores não nulos mutuamente ortogonais é linearmente independente.
  • Prova curta: suponha a v_1 + b v_2 = 0. Fazendo produto escalar com v_1 obtém-se a\,||v_1||^2 = 0, logo a=0 (pois ||v_1||\neq 0). Analogamente b=0. Assim são linearmente independentes.
  • Conclusão: os vetores são linearmente independentes, mas como são só dois não formam base de \mathbb{R}^4. Eles formam, sim, uma base do subespaço bidimensional \mathrm{span}\{v_1,v_2\}.

Resposta

(a) Sim — o conjunto é ortogonal.
(b) Não — não é ortonormal ( ||v_1||=5\sqrt{2}, ||v_2||=2\sqrt{10} ).
(c) Não — não é base de \mathbb{R}^4 (são só 2 vetores); porém é uma base do subespaço \mathrm{span}\{v_1,v_2\}.

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