determine whether the set of vectors in
is orthogonal, (b) if the set is orthogonal, then determine whether it is also orthonormal, and (c) determine whether the set is a basis for
Passo 1
O que o enunciado pede:
- (a) Determinar se o conjunto é ortogonal.
- (b) Se for ortogonal, determinar se é também ortonormal.
- (c) Determinar se o conjunto é uma base de
.
Informações dadas (pegas do enunciado):
- Os vetores são
e . - Como ambos têm quatro componentes, estamos trabalhando em
; ou seja, aqui .
Passo 2
Definição e teste de ortogonalidade:
- Dois vetores em
são ortogonais se o produto escalar (dot product) entre eles for zero. - Produto escalar: para
e vale
Aplicando aos nossos vetores:
Calculemos passo a passo:
Somando:
Como o produto escalar é
, os vetores são ortogonais.
Passo 3
Definição e teste de ortonormalidade:
- Um conjunto é ortonormal se os vetores são mutuamente ortogonais e cada vetor tem norma (comprimento) igual a
. - Norma (comprimento) de um vetor
é
Calculemos as normas:
Nenhuma das normas é igual a
(ambas são maiores que
), então, embora ortogonais, os vetores não formam um conjunto ortonormal. (Observação útil: para tornar o conjunto ortonormal bastaria normalizar cada vetor dividindo por sua norma.)
Passo 4
Definição de base e verificação:
- Um conjunto é base de
se for linearmente independente e gerar (span) todo . Em isso exige exatamente vetores linearmente independentes. - Nosso conjunto tem apenas
vetores; por isso não pode gerar todo . Logo não é uma base de .
Complemento — linear independência (apenas para confirmar):
- Qualquer conjunto de vetores não nulos mutuamente ortogonais é linearmente independente.
- Prova curta: suponha
. Fazendo produto escalar com obtém-se , logo (pois ). Analogamente . Assim são linearmente independentes. - Conclusão: os vetores são linearmente independentes, mas como são só dois não formam base de
. Eles formam, sim, uma base do subespaço bidimensional .
Resposta
(a) Sim — o conjunto é ortogonal.
(b) Não — não é ortonormal ( ,
).
(c) Não — não é base de (são só 2 vetores); porém é uma base do subespaço
.
(b) Não — não é ortonormal (
(c) Não — não é base de