Apply various formulas to the following limited data supply to approximate the integral of y(x) :
x
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
y(x)
1.0000
.8333
.7143
.6250
.5556
.5000
Use the trapezoidal rule, applying correction terms. How much confidence do you place in your result? Does it appear correct to four places? (See the next problem.)
Passo 1
O enunciado dá uma tabela de valores de y(x) em pontos igualmente espaçados entre x=1{,}0 e x=2{,}0. Os dados importantes são:
Pontos x: 1{,}0,\;1{,}2,\;1{,}4,\;1{,}6,\;1{,}8,\;2{,}0.
Intervalo de integração implícito: de x=1{,}0 até x=2{,}0.
Passo (espaçamento) entre pontos: h=0{,}2 pois h=(2{,}0-1{,}0)/5.
O pedido: aproximar a integral \displaystyle\int_{1}^{2} y(x)\,dx usando a regra do trapézio composta e aplicar termos de correção (i.e., usar correções tipo Euler–Maclaurin / termos de ordem superior). Também pede avaliar a confiança no resultado e se está correto com quatro casas decimais.
Passo 2
Apresentando a fórmula da regra do trapézio composta e explicando-a passo a passo.
A regra do trapézio composta para n subintervalos uniformes de tamanho h é
onde y_k=y(x_0+k h), x_0=1{,}0, x_n=2{,}0 e n=5. Aqui cada termo interior y_k entra com peso 1 e os extremos com peso 1/2. Essa fórmula aproxima a área sob a curva por trapézios em cada subintervalo; o erro global é tipicamente O(h^2).
Portanto, a aproximação pelo trapézio composto é \displaystyle T=0{,}69564.
Passo 3
Agora a ideia das correções (Euler–Maclaurin / termos de borda): por que precisamos corrigir e qual fórmula usar?
A regra do trapézio composta tem erro principal proporcional a h^2. A fórmula de Euler–Maclaurin fornece uma série assintótica que relaciona a soma (que entra em T) com a integral, e fornece termos de correção que envolvem derivadas nos extremos. Uma forma prática para correção é:
\displaystyle I \approx T \;-\; \frac{h^2}{12}\bigl(f'(b)-f'(a)\bigr) \;+\; \frac{h^4}{720}\bigl(f'''(b)-f'''(a)\bigr) \;-\; \frac{h^6}{30240}\bigl(f^{(5)}(b)-f^{(5)}(a)\bigr) +\cdots
onde I=\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx. Aqui:
a=1{,}0, b=2{,}0;
f', f''' etc. são derivadas de f avaliadas nos extremos;
cada termo sucessivo é de ordem h^2 menor que o anterior (term. de ordem h^2,\\ h^4,\\ h^6,\\ \ldots).
Essa fórmula é derivada do desenvolvimento de Euler–Maclaurin; o importante para a prova é saber: (i) o primeiro termo de correção é proporcional a h^2 e envolve f'(b)-f'(a); (ii) o segundo termo é proporcional a h^4 e envolve f'''(b)-f'''(a); e assim por diante. Esses termos permitem melhorar muito a precisão quando h é razoavelmente pequeno.
Se a função não for conhecida analiticamente, f'(a) e f'(b) podem ser aproximados por quocientes de diferença com os pontos disponíveis; mas neste caso a tabela sugere uma forma simples para f (ver próximo passo), então usaremos derivadas exatas.
Passo 4
Reconhecimento da função (útil para calcular derivadas nos extremos) e cálculo das derivadas necessárias.
esses valores coincidem (com arredondamento mostrado) com y(x)=1/x. Por exemplo 1/1{,}2=0{,}833333\ldots, 1/1{,}4\approx0{,}7142857\ldots. Portanto é razoável (e conveniente) usar f(x)=1/x para calcular as derivadas nos extremos e comparar com o valor exato quando necessário.
O sinal é negativo (veja o sinal alternado na série), então a correção seguinte diminuiria levemente I_2 em cerca de 2{,}5\times 10^{-7}. Assim o valor final apontado por essa expansão é aproximadamente
I \approx 0{,}6931525 - 0{,}00000025 \approx 0{,}69315225,
com um erro negligível comparado com as primeiras casas decimais.
Além disso, como observação útil de verificação: para f(x)=1/x a integral exata é \displaystyle\int_1^2 \frac{1}{x}\,dx = \ln 2 \approx 0{,}69314718056\ldots Comparando:
T=0{,}69564 tem erro T-\ln2\approx +0{,}002493.
I_1=0{,}69314 tem erro I_1-\ln2\approx -7{,}18\times 10^{-6}.
I_2=0{,}6931525 tem erro I_2-\ln2\approx +5{,}32\times 10^{-6}.
A correção de ordem h^6 (estimada) seria aproximadamente -2{,}5\times 10^{-7}, e empurraria I_2 mais perto do valor exato. O erro final previsto pela série é alguns \times 10^{-6} ou menos.
Passo 7
Conclusão prática e confiança no resultado — resposta curta e motivadora.
A aplicação da regra do trapézio composta mais os dois primeiros termos de correção (Euler–Maclaurin) leva a uma aproximação com erro da ordem de 10^{-6}. Isso é muito bom: o resultado aparece correto a quatro casas decimais (isto é, correto para 0{,}6931\ldots). Se fosse necessário garantir ainda mais precisão, seria suficiente incluir o termo seguinte (ordem h^6) ou usar um passo menor h.
Resposta
Trapezoidal composto T=0{,}69564
Corrigido (primeiro termo, ordem h^2): I_1=0{,}69314
Corrigido (dois termos, ordens h^2 e h^4): I_2=0{,}6931525
Valor exato (para y=1/x): \ln 2 \approx 0{,}69314718056
Confiança: sim — o valor corrigido aparece correto a quatro casas decimais (diferença residual \sim 10^{-6}).