Show that (a) \int_{0}^{1} x^{2} \tan ^{-1} x d x=\frac{1}{12} \pi-\frac{1}{6}+\frac{1}{6} \ln 2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} x^{2}\tan^{-1}x\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é a função x^{2}\tan^{-1}x.
  • Os limites de integração são 0 e 1.
    A tarefa é encontrar o valor numérico exato dessa integral.

Passo 2

Escolha do método: aqui a função é produto de uma função elementar x^{2} e a função \tan^{-1}x. Um método apropriado é a integração por partes, que é indicado quando há um produto onde uma parte é facilmente derivável e a outra facilmente integrável.
Lembrete (mini-aula) sobre integração por partes:
A fórmula da integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Nessa fórmula:
  • u é uma função que escolhemos para derivar (obtendo du),
  • dv é a parte que escolhemos para integrar (obtendo v).
    A ideia prática é escolher u de modo que du fique mais simples, e escolher dv que tenha integral fácil.

Passo 3

Aplicando integração por partes à integral \displaystyle \int_{0}^{1} x^{2}\tan^{-1}x\,dx.
Escolho
u=\tan^{-1}x,\qquad dv=x^{2}\,dx.
Então
du=\frac{1}{1+x^{2}}\,dx,\qquad v=\frac{x^{3}}{3}.
Aplicando a fórmula:
\int_{0}^{1} x^{2}\tan^{-1}x\,dx = \left.\frac{x^{3}}{3}\tan^{-1}x\right|_{0}^{1} - \int_{0}^{1}\frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{1}{1+x^{2}}\,dx.

Passo 4

Calcular o termo de fronteira e simplificar:
O termo de fronteira é
\left.\frac{x^{3}}{3}\tan^{-1}x\right|_{0}^{1} = \frac{1^{3}}{3}\tan^{-1}(1) - 0 = \frac{1}{3}\cdot\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12},
pois \tan^{-1}(1)=\pi/4.
Portanto
\int_{0}^{1} x^{2}\tan^{-1}x\,dx = \frac{\pi}{12} - \frac{1}{3}\int_{0}^{1}\frac{x^{3}}{1+x^{2}}\,dx.

Passo 5

Simplificar a integral racional \displaystyle \frac{x^{3}}{1+x^{2}}. Fazer a divisão algébrica curta:
Note que
x^{3} = x(1+x^{2}) - x,
logo
\frac{x^{3}}{1+x^{2}} = x - \frac{x}{1+x^{2}}.
Isso é uma técnica comum: ao dividir um polinômio por outro de grau menor, obtém-se um polinômio mais uma fração própria.
Assim
\int_{0}^{1}\frac{x^{3}}{1+x^{2}}\,dx = \int_{0}^{1}\left(x - \frac{x}{1+x^{2}}\right)\,dx = \int_{0}^{1}x\,dx - \int_{0}^{1}\frac{x}{1+x^{2}}\,dx.

Passo 6

Calcular as duas integrais simples separadamente.
  1. Para \displaystyle \int_{0}^{1}x\,dx,
\int_{0}^{1}x\,dx = \left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{2}.
  1. Para \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{x}{1+x^{2}}\,dx, observar que a derivada de 1+x^{2} é 2x. Então usar substituição ou lembrar que
\int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\ln(1+x^{2}) + C.
Avaliação nos limites:
\int_{0}^{1}\frac{x}{1+x^{2}}\,dx = \left.\frac{1}{2}\ln(1+x^{2})\right|_{0}^{1} = \frac{1}{2}\ln 2 - \frac{1}{2}\ln 1 = \frac{1}{2}\ln 2.

Passo 7

Voltar à expressão obtida no Passo 4:
\int_{0}^{1}\frac{x^{3}}{1+x^{2}}\,dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\ln 2.
Portanto
\int_{0}^{1} x^{2}\tan^{-1}x\,dx = \frac{\pi}{12} - \frac{1}{3}\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\ln 2\right).

Passo 8

Fazer a álgebra final para simplificar:
\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\ln 2\right) = \frac{1}{6} - \frac{1}{6}\ln 2,
logo
\int_{0}^{1} x^{2}\tan^{-1}x\,dx = \frac{\pi}{12} - \left(\frac{1}{6} - \frac{1}{6}\ln 2\right) = \frac{\pi}{12} - \frac{1}{6} + \frac{1}{6}\ln 2.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{12}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\ln 2

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