Show that (a) \int_{0}^{1} x^{2} \tan ^{-1} x d x=\frac{1}{12} \pi-\frac{1}{6}+\frac{1}{6} \ln 2
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} x^{2}\tan^{-1}x\,dx.
Informações dadas:
O integrando é a função x^{2}\tan^{-1}x.
Os limites de integração são 0 e 1.
A tarefa é encontrar o valor numérico exato dessa integral.
Passo 2
Escolha do método: aqui a função é produto de uma função elementar x^{2} e a função \tan^{-1}x. Um método apropriado é a integração por partes, que é indicado quando há um produto onde uma parte é facilmente derivável e a outra facilmente integrável.
Lembrete (mini-aula) sobre integração por partes:
A fórmula da integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Nessa fórmula:
u é uma função que escolhemos para derivar (obtendo du),
dv é a parte que escolhemos para integrar (obtendo v).
A ideia prática é escolher u de modo que du fique mais simples, e escolher dv que tenha integral fácil.
Passo 3
Aplicando integração por partes à integral \displaystyle \int_{0}^{1} x^{2}\tan^{-1}x\,dx.