Show that (a)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
e mostrar que o resultado é
.
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
e .
Passo 2
Primeiro passo técnico: simplificar a expressão quadrática no denominador completando o quadrado. Vou reescrever
de forma mais manejável.
Faço a completude do quadrado corretamente:
Melhor forma direta:
Verificação rápida: expandindo
. Então a integral fica
Passo 3
Faço a mudança de variável de translação
. Isso centraliza a expressão e simplifica a substituição trigonométrica depois.
- Quando
, temos . - Quando
, temos . - Além disso,
.
Portanto a integral transforma-se em
Passo 4
Explico a ideia da substituição trigonométrica que é padrão para termos do tipo
. Para
escolhe-se
porque
aparece e
, que é fácil de elevar a potências fracionárias.
Aqui
. Faço a substituição
Calculo o denominador:
portanto
Substituindo no integrando:
Passo 5
Agora ajusto os limites em
. Como
,
- Para
temos . Um valor conveniente e contínuo para é . - Para
temos , então .
Assim a integral em
é
Lembrando que a derivada da tangente é
, integro facilmente:
Sei que
e
. Portanto
Racionalizando (multiplicando numerador e denominador por
):
Passo 6
Resumo final: seguindo a completude do quadrado, a mudança
e a substituição trigonométrica
, a integral avalia-se para
. Portanto o valor pedido está confirmado.