Show that (a) \int_{0}^{1} \frac{d x}{\left(3+2 x-x^{2}\right)^{3 / 2}}=\frac{\sqrt{3}}{12}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1}\frac{dx}{\left(3+2x-x^{2}\right)^{3/2}}
e mostrar que o resultado é \dfrac{\sqrt{3}}{12}.
Informações dadas:
  • O integrando é \dfrac{1}{\left(3+2x-x^{2}\right)^{3/2}}.
  • Os limites de integração são x=0 e x=1.

Passo 2

Primeiro passo técnico: simplificar a expressão quadrática no denominador completando o quadrado. Vou reescrever 3+2x-x^{2} de forma mais manejável.
3+2x-x^{2} = -(x^{2}-2x)-3+6 = -(x^{2}-2x-3) \quad\text{(mas é mais prático completar o quadrado diretamente)}éá
Faço a completude do quadrado corretamente:
3+2x-x^{2} = -(x^{2}-2x)-3+6 = -(x^{2}-2x-3) \text{ (essa linha é só para ilustrar)}éó
Melhor forma direta:
3+2x-x^{2} = 4 - (x-1)^{2}.
Verificação rápida: expandindo 4-(x-1)^{2}=4-(x^{2}-2x+1)=3+2x-x^{2}. Então a integral fica
\int_{0}^{1}\frac{dx}{\left(4-(x-1)^{2}\right)^{3/2}}.

Passo 3

Faço a mudança de variável de translação u=x-1. Isso centraliza a expressão e simplifica a substituição trigonométrica depois.
  • Quando x=0, temos u=-1.
  • Quando x=1, temos u=0.
  • Além disso, dx=du.
Portanto a integral transforma-se em
\int_{-1}^{0}\frac{du}{\left(4-u^{2}\right)^{3/2}}.

Passo 4

Explico a ideia da substituição trigonométrica que é padrão para termos do tipo \left(a^{2}-u^{2}\right). Para \left(a^{2}-u^{2}\right) escolhe-se u=a\sin\theta porque \sin^{2}\theta aparece e a^{2}-a^{2}\sin^{2}\theta=a^{2}\cos^{2}\theta, que é fácil de elevar a potências fracionárias.
Aqui a=2. Faço a substituição
u=2\sin\theta,\qquad du=2\cos\theta\,d\theta.
Calculo o denominador:
4-u^{2}=4-4\sin^{2}\theta=4\cos^{2}\theta,
portanto
\left(4-u^{2}\right)^{3/2}=\left(4\cos^{2}\theta\right)^{3/2}=4^{3/2}\cos^{3}\theta=8\cos^{3}\theta.
Substituindo no integrando:
\frac{du}{\left(4-u^{2}\right)^{3/2}}=\frac{2\cos\theta\,d\theta}{8\cos^{3}\theta}=\frac{1}{4}\frac{1}{\cos^{2}\theta}\,d\theta=\frac{1}{4}\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.

Passo 5

Agora ajusto os limites em \theta. Como u=2\sin\theta,
  • Para u=-1 temos \sin\theta=-\tfrac{1}{2}. Um valor conveniente e contínuo para \theta é \theta=-\tfrac{\pi}{6}.
  • Para u=0 temos \sin\theta=0, então \theta=0.
Assim a integral em \theta é
\int_{-1}^{0}\frac{du}{\left(4-u^{2}\right)^{3/2}}=\frac{1}{4}\int_{-\pi/6}^{0}\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
Lembrando que a derivada da tangente é \dfrac{d}{d\theta}\tan\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta, integro facilmente:
\frac{1}{4}\int_{-\pi/6}^{0}\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta=\frac{1}{4}\big[\tan\theta\big]_{-\pi/6}^{0} =\frac{1}{4}\left(\tan 0-\tan\left(-\tfrac{\pi}{6}\right)\right).
Sei que \tan 0=0 e \tan\left(-\tfrac{\pi}{6}\right)=-\tan\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}. Portanto
\frac{1}{4}\left(0-(-\tfrac{1}{\sqrt{3}})\right)=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{4\sqrt{3}}.
Racionalizando (multiplicando numerador e denominador por \sqrt{3}):
\frac{1}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{12}.

Passo 6

Resumo final: seguindo a completude do quadrado, a mudança u=x-1 e a substituição trigonométrica u=2\sin\theta, a integral avalia-se para \dfrac{\sqrt{3}}{12}. Portanto o valor pedido está confirmado.

Resposta

\dfrac{\sqrt{3}}{12}

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