Evaluate:
(a) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos \left(x^{2}\right)-1}{x^{3} \operatorname{stn}(x)};

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0}\frac{\cos\bigl(x^{2}\bigr)-1}{x^{3}\,\operatorname{stn}(x)}.
Há uma notação ambígua: \operatorname{stn}(x) não é padrão. Vou assumir que isso é uma grafia incorreta de \sin x (função seno). Se a intenção for outra função, não há como continuar sem a definição correta. Sob essa suposição, a expressão a avaliar fica
\lim_{x\to 0}\frac{\cos\bigl(x^{2}\bigr)-1}{x^{3}\,\sin x}.

Passo 2

Estratégia: usar as expansões em série de Taylor de \cos z e \sin x em torno de zero para extrair os termos dominantes (os de menor potência de x) — isso dá o comportamento assintótico quando x\to0 e permite calcular o limite facilmente sem calculadora.
Lembrete rápido das séries (válidas para z e x pequenos):
\cos z = 1 - \frac{z^{2}}{2} + \frac{z^{4}}{24} + O(z^{6}),
\sin x = x - \frac{x^{3}}{6} + O(x^{5}).
Aqui O(\cdot) indica termos de ordem superior cujo efeito some quando divididos pelos termos dominantes ao tomar o limite.

Passo 3

Aplicar a expansão de \cos z com z=x^{2}. Substituindo z=x^{2} obtemos:
\cos\bigl(x^{2}\bigr)=1-\frac{(x^{2})^{2}}{2}+\frac{(x^{2})^{4}}{24}+O(x^{12}) =1-\frac{x^{4}}{2}+\frac{x^{8}}{24}+O(x^{12}).
Portanto o numerador é
\cos\bigl(x^{2}\bigr)-1 = -\frac{x^{4}}{2}+\frac{x^{8}}{24}+O(x^{12}).

Passo 4

Expansão do seno (já citada):
\sin x = x - \frac{x^{3}}{6} + O(x^{5}).
Multiplicando por x^{3} (o fator que aparece no denominador):
x^{3}\sin x = x^{3}\left(x - \frac{x^{3}}{6} + O(x^{5})\right) = x^{4} - \frac{x^{6}}{6} + O(x^{8}).

Passo 5

Agora temos as formas dominantes:
\text{numerador} = -\frac{x^{4}}{2} + \text{termos de ordem maior}, \qquad \text{denominador} = x^{4} + \text{termos de ordem maior}.
Dividindo numerador e denominador por x^{4} (válido para x\neq0) dá
\frac{\cos(x^{2})-1}{x^{3}\sin x} = \frac{-\tfrac{1}{2} + O(x^{4})}{1 + O(x^{2})}.

Passo 6

Tomando x\to0, os termos O(x^{4}) e O(x^{2}) tendem a zero, então a fração tende para
\frac{-\tfrac{1}{2}}{1} = -\frac{1}{2}.
Explicação breve: quando as duas partes têm o mesmo fator dominante em potência de x (aqui x^{4}), o limite é a razão dos coeficientes desses termos dominantes.

Resposta

-\frac{1}{2}

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