Evaluate:
(a)
;
(a)
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Há uma notação ambígua:
não é padrão. Vou assumir que isso é uma grafia incorreta de
(função seno). Se a intenção for outra função, não há como continuar sem a definição correta. Sob essa suposição, a expressão a avaliar fica
Passo 2
Estratégia: usar as expansões em série de Taylor de
e
em torno de zero para extrair os termos dominantes (os de menor potência de
) — isso dá o comportamento assintótico quando
e permite calcular o limite facilmente sem calculadora.
Lembrete rápido das séries (válidas para
e
pequenos):
Aqui
indica termos de ordem superior cujo efeito some quando divididos pelos termos dominantes ao tomar o limite.
Passo 3
Aplicar a expansão de
com
. Substituindo
obtemos:
Portanto o numerador é
Passo 4
Expansão do seno (já citada):
Multiplicando por
(o fator que aparece no denominador):
Passo 5
Agora temos as formas dominantes:
Dividindo numerador e denominador por
(válido para
) dá
Passo 6
Tomando
, os termos
e
tendem a zero, então a fração tende para
Explicação breve: quando as duas partes têm o mesmo fator dominante em potência de
(aqui
), o limite é a razão dos coeficientes desses termos dominantes.
Resposta
-\frac{1}{2}