(Transformações em Vigas) Uma viga é representada por um vetor no espaço 2D. Se a viga sofrer uma compressão de 10% na direção e uma extensão de 20% na direção , escreva a matriz de transformação e determine a nova posição da viga após a transformação. Este tipo de construção nos permite fazer que tipo de estudo a cerca de estruturas em construções?
(Rotação de Estruturas) Considere um triângulo definido pelos pontos , e . Usando a matriz de rotação , calcule as novas coordenadas dos vértices do triângulo após uma rotação de em torno da origem.
(Análise de Estruturas 3D): Um modelo 3D de uma estrutura é representado por um vetor . Se esse modelo for escalado por um fator de 2 em x, 0.5 em y e 1 em z, escreva a matriz de transformação S e determine a nova posição do vetor p.
(Sistemas de Controle): Um sistema é considerado estável se, após uma pequena perturbação, ele retorna ao seu estado de equilíbrio. Em termos de controle, isso significa que a saída do sistema não diverge para valores infinitos ao longo do tempo. Existem diferentes tipos de estabilidade, sendo a estabilidade assintótica uma das mais importantes, onde o sistema não apenas permanece próximo do ponto de equilíbrio, mas também converge para ele ao longo do tempo. Dado um sistema descrito pela equação d xd t=(cc0 & 1 -k & -b) x+binom01 u, onde k e b são constantes.
(a) Explique como a matriz de estado A pode ser utilizada para analisar a estabilidade do sistema.
(b) Discuta também os conceitos de estabilidade de Lyapunov, que é um método usado para determinar a estabilidade de um sistema com base na energia do sistema, e como os autovalores da matriz A influenciam a resposta do sistema. O que significa ter autovalores com parte real negativa? Quais são as implicações se algum autovalor tiver parte real positiva ou zero?
(c) Considere um sistema de controle de temperatura em um forno industrial. O objetivo é manter a temperatura dentro de uma faixa específica, mesmo diante de variações externas, como a abertura de uma porta. Se o sistema for estável, a temperatura se ajustará rapidamente e retornará ao ponto desejado após qualquer perturbação. Discuta como a análise da matriz A pode ajudar a projetar um controlador eficaz que garanta essa estabilidade e como a escolha de parâmetros k e b impacta a resposta do sistema.
(Transformada de Fourier): Discuta como a Transformada de Fourier pode ser representada como uma transformação linear. A Transformada de Fourier de um sinal f(t) é definida como:
F(omega)=integral-infty^infty f(t) e^-i omega t d t
onde F(omega) é a representação do sinal no domínio da frequência, omega é a frequência angular e i é a unidade imaginária.
(a) Explique como essa operação pode ser vista como uma transformação linear em um espaço vetorial. Como a matriz que representa essa transformação pode ser escrita em termos de senos e cossenos?
(b) Considere um sistema de comunicação sem fio, onde um sinal modulado é transmitido. Discuta como a Transformada de Fourier pode ser usada para analisar a largura de banda do sinal e como isso afeta a qualidade da transmissão. Como as propriedades de linearidade da transformação ajudam na separação de sinais em diferentes frequências?
6. Análise de Circuitos: Considere um circuito com três resistores R1, R2 e R3 conectados em paralelo. Escreva o sistema de equações que representa a corrente i em termos de tensões V usando a Lei de Ohm. Como você pode expressar esse sistema como uma matriz A e um vetor x ?
Passo 1
O enunciado traz seis aplicações de transformações lineares em engenharia: (1) deformação de vigas em 2D por compressão/empenamento, (2) rotação de figuras planas, (3) escala de modelos 3D, (4) análise de estabilidade de sistemas dinâmicos via matriz de estado, (5) interpretação da Transformada de Fourier como operador linear e (6) formulação matricial de correntes em circuito de resistores em paralelo. Vamos usar conceitos de matrizes de transformação, multiplicação de matrizes por vetores e análise de autovalores para chegar a cada resultado.
Passo 2
1. (Transformações em Vigas)
A compressão de 10% em x significa escala de 0,9 em x; a extensão de 20% em y significa escala de 1,2 em y.
A matriz de transformação é
T = 0,9 & 0 [6pt] 0 & 1,2
Para um vetor v=binomxy, a nova posição é
v' = T,v = 0,9x [3pt]1,2y
Esse tipo de modelagem permite estudar deslocamentos, deformações e tensões (análise de esforços, rigidez e estabilidade) em estruturas de engenharia.]
Passo 3
2. (Rotação de Estruturas)
Com theta=90^circ, temos cos90^circ=0 e sin90^circ=1. Logo
R(90^circ) = 0 & -1 [3pt] 1 & 0
Aplicando em cada vértice:
A(1,0)mapsto A' = 0 & -11 & 010=01,
B(0,1)mapsto B' = 0 & -11 & 001=-10,
C(1,1)mapsto C' = 0 & -11 & 011=-11 ]
Passo 4
3. (Análise de Estruturas 3D)
A escala em x por 2, em y por 0,5 e em z por 1 é dada por
S = 2 & 0 & 0 [3pt] 0 & 0,5 & 0 [3pt] 0 & 0 & 1
Para p=(x,y,z)^ T, a nova posição é
p' = S,p = 2x0,5y1cdot z ]
Passo 5
4. (Sistemas de Controle)
(a) A estabilidade do sistema
dxdt = A,x + 01u, A=0 & 1-k & -b
é avaliada pelos autovalores de A.
(b) Pelo critério de Lyapunov, se todos os autovalores de A tiverem parte real negativa, o sistema é assintoticamente estável (converge ao equilíbrio). Parte real positiva indica instabilidade (soluções divergem) e zero indica estabilidade marginal (pode oscilar sem convergir).
(c) Num forno industrial, escolhemos k e b de modo que os autovalores de 0 & 1-k & -b
tenham grandes partes reais negativas (resposta rápida) e amortecimento suficiente (evitar oscilações). Esse ajuste informa o projeto do controlador para que a temperatura retorne depressa ao ponto desejado após distúrbios.
Passo 6
5. (Transformada de Fourier)
(a) A Transformada de Fourier
F(omega)=integral-infty^infty f(t),e^-iomega t,dt
é linear porque Fa,f + b,g = a,Ff + b,Fg.
Em termos de “matriz” infinita, o kernel e^-iomega t=cos(omega t)-isin(omega t) age como elementos de uma matriz contínua que multiplica o vetor função f(t).
(b) Em comunicações sem fio, a Transformada de Fourier mostra a distribuição de energia por frequência, definindo a largura de banda necessária. A linearidade permite separar sinais (por frequência) sem interferência mútua, fundamental para múltiplos usuários e filtros.
Passo 7
6. (Análise de Circuitos)
Num circuito paralelo com R1,R2,R3 e tensão comum V, as correntes são
i1 = VR1, i2 = VR2, i3 = VR3
Em forma matricial, definimos i=(i1,i2,i3)^ T, x=(V,V,V)^ T e
. , . Permite estudar deformações e tensões em estruturas. . , , , . . , . .(a) Estabilidade via autovalores de .
(b) Parte real negativa assintoticamente estável; positiva instável; zero marginal.
(c) Escolha de ajusta esses autovalores para resposta rápida e amortecida no controle de temperatura. .(a) Fourier é transformação linear com kernel .
(b) Usada para analisar banda e separar sinais por frequência graças à linearidade. . , ,
e .