Dados os vetores e e em , determine os vetores e .
Dados os vetores e em , obtenha números reais, tais que . Quantas soluções admite este problema?
Mostre que os polinômios a seguir são linearmente independentes
Suponha que seja L.I., mas seja L.D. Mostre que é combinação linear dos vetores de .
Consideremos no espaço vetorial os vetores e ; onde . Mostre que é L.I.
Mostre que é L.I. se e .
Passo 1
O enunciado envolve combinação linear e independência linear em e em espaços de polinômios. Para resolver cada item, vamos: . Montar sistemas lineares para verificar se um vetor é combinação de outros. . Resolver sistemas para encontrar coeficientes em combinações lineares. . Somar e escalar vetores diretamente. . Calcular determinantes de matrizes e para testar independência linear. . Usar argumento de que, se ao incluir um vetor num conjunto L.I. o conjunto fica L.D., então esse vetor é combinação dos anteriores.
Passo 2
Para ver se
Isso gera o sistema
Das duas primeiras equações subtraídas vem . Mas na terceira teríamos . Logo o sistema é inconsistente e NÃO é combinação de e .
Passo 3
Queremos
Isso dá o sistema
Da terceira vem (\alpha=\tfrac13]. Substituindo na segunda:
Finalmente na primeira:
Das duas primeiras: e então . A terceira confirma . O determinante da matriz dos coeficientes é , logo há exatamente uma solução.
Passo 6
Para ver se
p(x)=x^3+5x^2+1, q(x)=2x^4+5x-6, r(x)=x^2-5x+2
são L.I., consideramos
c1p+c2q+c3r=0
O coeficiente de x^4 dá 2c2=0implies c2=0. O de x^3 dá c1=0. O de x^2 dá 5c1+c3=0implies c3=0. Logo só a solução trivial, e os polinômios são L.I.
Passo 7
Seja (v1,dots,vn) L.I. e (v1,dots,vn,w) L.D. Então existem escalares não todos nulos com
sumi=1^nalphaivi+beta,w=0
Como v1,dots,vn são L.I., não pode ser beta=0. Logo betaneq0 e
w=-1betasumi=1^nalphaivi,
mostrando que w é combinação linear dos vi.
Passo 8
No R^2 temos
u=(1-a,1+a), v=(1+a,1-a), aneq0
O determinante da matriz cujas colunas são u,v é
det1-a&1+a1+a&1-a =(1-a)(1-a)-(1+a)^2=-4aneq0
Logo u,v é L.I.
Passo 9
No R^3, considere
v1=(1,0,a), v2=(1,1,a), v3=(1,1,a^2), aneq0,1
O determinante da matriz com essas linhas é
det 1&0&a 1&1&a 1&1&a^2 =a(a-1)neq0
Assim v1,v2,v3 é L.I.
Resposta
1. b não é combinação linear de v1,v2. 2. alpha=tfrac13,;beta=tfrac16,;gamma=tfrac112. 3. v=(3,3,3),;u=(0,0,0),;w=(1,0,0). 4. alpha=3,;beta=-2, com solução única. 5. p,q,r é linearmente independente. 6. w é combinação linear dos vetores de S, pois w=-1betasumi=1^nalphaivi 7. u,v é linearmente independente. 8. (1,0,a),(1,1,a),(1,1,a^2) é L.I. para aneq0,1.