4.2.1 Combinação linear. Conjuntos L.I e L.D

  1. Mostre que o vetor b=(1,2,2) não é combinação linear de v1=(1,1,2) e v2=(1,2,1).
  2. Dados u=(1,2,3), v=(3,2,0) e w=(2,0,0), ache números alpha, beta e gamma tais que alpha u+beta v+gamma w=(1,1,1).
  3. Dados os vetores v1=(1,2,1), v2=(2,1,2) e v3=(3,3,2) e v4=(1,5,-1) em R^3, determine os vetores v=v1+v2, u=v1-3 v2+2 v3-v4 e w=v3-13 v2-43 v1.
  4. Dados os vetores u=(1,2,3), v=(3,2,1) e w=(-3,2,7) em R^3, obtenha alpha, beta números reais, tais que w=alpha u+beta v. Quantas soluções admite este problema?
  5. Mostre que os polinômios a seguir são linearmente independentes
p(x)=x^3+5 x^2+1, q(x)=2 x^4+5 x-6, r(x)=x^2-5 x+2
  1. Suponha que S=(v, v2 cdots, vn) seja L.I., mas (v1, v2, cdots, vn, w) seja L.D. Mostre que w é combinação linear dos vetores de S.
  2. Consideremos no espaço vetorial R^2 os vetores u=(1-a, 1+a) e v=(1+a, 1-a); onde a neq 0. Mostre que u, v é L.I.
  3. Mostre que (1,0, a),(1,1, a),(1,1, a^2) subset R^3 é L.I. se a neq 0 e a neq 1.

Passo 1

O enunciado envolve combinação linear e independência linear em R^n e em espaços de polinômios. Para resolver cada item, vamos:
1. Montar sistemas lineares para verificar se um vetor é combinação de outros.
2. Resolver sistemas 3times 3 para encontrar coeficientes em combinações lineares.
3. Somar e escalar vetores diretamente.
4. Calcular determinantes de matrizes 2times 2 e 3times 3 para testar independência linear.
5. Usar argumento de que, se ao incluir um vetor num conjunto L.I. o conjunto fica L.D., então esse vetor é combinação dos anteriores.

Passo 2

Para ver se
Isso gera o sistema
Das duas primeiras equações subtraídas vem . Mas na terceira teríamos . Logo o sistema é inconsistente e NÃO é combinação de e .

Passo 3

Queremos
Isso dá o sistema
Da terceira vem (\alpha=\tfrac13]. Substituindo na segunda:

Finalmente na primeira:

Passo 4

Calculamos
v=v1+v2=(1,2,1)+(2,1,2)=(3,3,3),
u=v1-3v2+2v3-v4 =(1,2,1)-3(2,1,2)+2(3,3,2)-(1,5,-1)=(0,0,0),
w=v3-tfrac13v2-tfrac43v1 =(3,3,2)-tfrac13(2,1,2)-tfrac43(1,2,1)=(1,0,0)

Passo 5

Procuramos
O sistema é
Das duas primeiras: e então . A terceira confirma . O determinante da matriz dos coeficientes é , logo há exatamente uma solução.

Passo 6

Para ver se
p(x)=x^3+5x^2+1, q(x)=2x^4+5x-6, r(x)=x^2-5x+2
são L.I., consideramos
c1p+c2q+c3r=0
O coeficiente de x^4 2c2=0implies c2=0. O de x^3 c1=0. O de x^2 5c1+c3=0implies c3=0. Logo só a solução trivial, e os polinômios são L.I.

Passo 7

Seja (v1,dots,vn) L.I. e (v1,dots,vn,w) L.D. Então existem escalares não todos nulos com
sumi=1^nalphaivi+beta,w=0
Como v1,dots,vn são L.I., não pode ser beta=0. Logo betaneq0 e
w=-1betasumi=1^nalphaivi,
mostrando que w é combinação linear dos vi.

Passo 8

No R^2 temos
u=(1-a,1+a), v=(1+a,1-a), aneq0
O determinante da matriz cujas colunas são u,v é
det1-a&1+a1+a&1-a =(1-a)(1-a)-(1+a)^2=-4aneq0
Logo u,v é L.I.

Passo 9

No R^3, considere
v1=(1,0,a), v2=(1,1,a), v3=(1,1,a^2), aneq0,1
O determinante da matriz com essas linhas é
det 1&0&a 1&1&a 1&1&a^2 =a(a-1)neq0
Assim v1,v2,v3 é L.I.

Resposta

1. b não é combinação linear de v1,v2.
2. alpha=tfrac13,;beta=tfrac16,;gamma=tfrac112.
3. v=(3,3,3),;u=(0,0,0),;w=(1,0,0).
4. alpha=3,;beta=-2, com solução única.
5. p,q,r é linearmente independente.
6. w é combinação linear dos vetores de S, pois
w=-1betasumi=1^nalphaivi 7. u,v é linearmente independente.
8. (1,0,a),(1,1,a),(1,1,a^2) é L.I. para aneq0,1.

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