5.2 Transformações Lineares.

  1. Verifique se as seguintes aplicações são transformações lineares:
    (a) T: R^3 R^4 tal que T(x, y, z)=(2 x-1, y, 2 y, z)
    (b) S: R^3 R tal que T(x, y, z)=z
    (c) T: M2 times 2 R^4 tal que T((ai j)i, j: 1^2)=(a11, a12, a21, a22)
    (d) T: R R tal que T(x)=2 x^2+1
    (e) T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(x, 2^y, 2^z)
    (f) T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(3 x, a, 5 z)
    (g) T: R^4 R^3, T(x, y, z, w)=(x-w, y-w, x+z)
    (h) T: M(n times n) longrightarrow R^n A([ai j])=(a11, a22, ldots, an n)
    (i) T: R^2 longrightarrow R^2 dada por T(x, y)=(x^2, y).
    (j) T: R^2 longrightarrow R^2 dada por T(x, y)=(x, x+1).
    (k) T: R^2 longrightarrow R^4 dada por T(x, y, z)=(2 y, 3 x,-y, x+y).
    (l) T: R^4 longrightarrow R^3 dada por T(x, y, z, w)=(y, z, w).
    (m) T: R^3 M2(R) dada por T(x, y, z)=(ccx+z & 3 y 4 x y & -z).
  2. Sabendo que T: R^2 R é um funcional linear tal que f(1,1)=3 e f(2,3)=1 calcule f(1,0) e f(0,1).
  3. Sabendo que T(2,3)=(-1,2,0) e T(-1,3)=(-1,0,0) Calcule T(1,0) e T(0,1) e, portanto, T(x, y).
  4. A transformação linear T: R^2 longrightarrow R^2 é representada pela seguinte matriz nas bases canônicas:
V=[ll 3 & 2 1 & 1 ]
Determine T(x, y).
5. (Transformação de Rotação) Determine a transformção linear que leva o vetor v in R^2 em um novo vetor v^prime que é obtido por meio de uma rotação de theta graus do vetor v.
6. Seja T: U V transformação linear tal que T(u)=3 u e T(v)=u-v. Calcular em função de u e v :
(a) T(u+v).
(b) T(3 v).
(c) T(4 u-5 v).
7. (Transformações geométricas em R^2 ) Determine a matriz e a transformação linear associada, que:
(a) amplia todos os vetores por um fator k,
(b) reflete os vetores em torno do eixo x,
(c) projeta (ortogonalmente) os vetores no eixo x,
(d) reflete os vetores em torno da reta y=-x.
8. (Transformações geométricas em R^3 ) Determine as matrizes e as respectivas transformações lineares que:
(a) projeta (ortogonalmente) os vetores do espaço no plano z=0,
(b) reflete os vetores do espaço em torno do plano z=0,
(c) projeta (ortogonalmente) os vetores do espaço no plano y=0.
9. Seja T: R^3 R^2 uma transformação linear definida por T(1,1,1)=(1,2), T(1,1,0)=(2,3) e T(1,0,0)= (3,4).
(a) Determine T(x, y, z).
(b) Determine v in R^3 tal que T(v)=(-3,2).
(c) Determine v in R^3 tal que T(v)=(0,0).
10. Se T: V W é uma transformação linear, mostre que Im(T) e Nuc(T) são subespaços vetoriais de W e V respectivamente.
11. Considere os operadores lineares do R^3 definidos por T(x, y, z)=(x-3 y-2 z, y-4 z, z) e S(x, y, z)=(x, x-y, 2 x+y-z). Verifique quais dos operadores lineares acima são isomorfismos e os que forem, determinar o isomorfismo inverso. Caso negativo ache uma base para Ker(T) e Im(T).
12. Seja T: U V uma transformação linear com dim U=dim V=n e T uma transformação linear injetora. Mostre que T leva base em base, ou seja, se beta=v1, v2, cdots, vn é base de U então beta^prime=T(v1), T(v2), cdots, T(vn) é base de V.

Passo 1

O enunciado pede para verificar, em cada item de (a) a (m), se a aplicação dada satisfaz as condições de linearidade:
1) aditividade:
T(u+v)=T(u)+T(v),
2) homogeneidade:
T(c,u)=c,T(u)
Lembrando que, em particular, toda transformação linear deve enviar o vetor nulo em si mesmo:
T(0)=0
Se houver termo constante não nulo ou termo não linear (como produto de coordenadas, potência ou exponencial), a aplicação não é linear.

Passo 2

(a) T(x,y,z)=(2x-1,;y,;2y,;z). Há o termo constante -1 na primeira componente, logo
T(0,0,0)=( -1,0,0,0)neq(0,0,0,0)
Portanto não é linear.

Passo 3

(b) S(x,y,z)=z. Aqui S(u+v)=zu+zv=S(u)+S(v) e S(c,u)=c,zu=c,S(u). Além disso S(0,0,0)=0. Logo é linear.

Passo 4

(c) T:A=(aij)mapsto(a11,a12,a21,a22). É apenas reagrupamento de entradas sem termos extras. Satisfaz aditividade e homogeneidade, logo é linear.

Passo 5

(d) T(x)=2x^2+1. Há o termo x^2 (não é homogêneo em x) e o +1. Em particular T(0)=1neq0. Não é linear.

Passo 6

(e) T(x,y,z)=(x,2^y,2^z). As componentes 2^y e 2^z não satisfazem T(u+v)=T(u)+T(v). Não é linear.

Passo 7

(f) T(x,y,z)=(3x,;a,;5z) com a constante. Como a segunda componente é fixa igual a a, temos T(0,0,0)=(0,a,0)neq0. Não é linear (a menos que a=0, mas não foi dito).

Passo 8

(g) T(x,y,z,w)=(x-w,;y-w,;x+z). Cada componente é combinação linear sem termo constante: aditividade e homogeneidade valem. É linear.

Passo 9

(h) T:[aij]mapsto (a11,a22,dots,ann). Seleção das diagonais principais, operação linear. É linear.

Passo 10

(i) T(x,y)=(x^2,y). A primeira componente é x^2, não linear. Não é linear.

Passo 11

(j) T(x,y)=(x,;x+1). Há o termo constante +1 na segunda componente. T(0,0)=(0,1)neq0. Não é linear.

Passo 12

(k) Aqui há um deslize no enunciado: domínio indicado R^2 mas a fórmula usa três variáveis (x,y,z). Supondo domínio R^3,
T(x,y,z)=(2y,;3x,;-y,;x+y)
são combinações lineares sem termo constante. É linear.

Passo 13

(l) T(x,y,z,w)=(y,z,w). Descartamos a primeira coordenada, sem termo constante. Satisfaz aditividade e homogeneidade. É linear.

Passo 14

(m) T(x,y,z)=x+z & 3y4xy & -z. A entrada 4xy é produto de x por y, o que quebra a linearidade, e ainda há soma x+z. Não é linear.

Resposta

Lineares: (b), (c), (g), (h), (k), (l)
Não lineares: (a), (d), (e), (f), (i), (j), (m)

Exercícios relacionados