Em uma apresentação, dois aviões
e
fazem manobras tendo seus movimentos descritos, respectivamente, por
e
, onde o tempo
é medido em minutos.
a) As trajetórias desses aviões se interceptam? Justifique.
b) Há uma colisão entre os aviões? Justifique.
a) As trajetórias desses aviões se interceptam? Justifique.
b) Há uma colisão entre os aviões? Justifique.
Passo 1
O enunciado fornece duas curvas paramétricas em
representando as trajetórias de dois aviões no mesmo nível de altitude
:
e
, com
.
Parte (a) pede se as trajetórias (como conjuntos de pontos no espaço) se interceptam. Parte (b) pede se há colisão, isto é, se eles ocupam o mesmo ponto no mesmo instante .
Parte (a) pede se as trajetórias (como conjuntos de pontos no espaço) se interceptam. Parte (b) pede se há colisão, isto é, se eles ocupam o mesmo ponto no mesmo instante
Passo 2
Para checar se as trajetórias se interceptam, buscamos
tais que
. Igualando coordenas:
Passo 3
Substituindo
na primeira equação:
Testando
vê-se que
Logo
e
. O ponto de interseção é
Portanto sim, as trajetórias se interceptam no ponto
.
Passo 4
Para haver colisão, além de
espacialmente, precisamos que ambos usem o mesmo parâmetro
. Igualando
em
vemos pela segunda equação que
. Mas então a primeira daria
o que não coincide. Logo não há instante em que estão juntos no mesmo ponto.
Resposta
a) Sim. As trajetórias se cruzam em
.
b) Não. Não existe em que
.
b) Não. Não existe