Em uma apresentação, dois aviões A_{1} e A_{2} fazem manobras tendo seus movimentos descritos, respectivamente, por \gamma_{1}(t)=\left(8 t^{3}, t, 10\right), t \geq 0 e \gamma_{2}(t)=(12 t+2,2 t, 10), t \geq 0, onde o tempo t é medido em minutos.
a) As trajetórias desses aviões se interceptam? Justifique.
b) Há uma colisão entre os aviões? Justifique.

Passo 1

O enunciado fornece duas curvas paramétricas em \mathbb{R}^3 representando as trajetórias de dois aviões no mesmo nível de altitude z=10: \gamma_{1}(t_{1})=(8t_{1}^{3},\,t_{1},\,10) e \gamma_{2}(t_{2})=(12t_{2}+2,\,2t_{2},\,10), com t_{1},t_{2}\ge0.
Parte (a) pede se as trajetórias (como conjuntos de pontos no espaço) se interceptam. Parte (b) pede se há colisão, isto é, se eles ocupam o mesmo ponto no mesmo instante (t_{1}=t_{2}).

Passo 2

Para checar se as trajetórias se interceptam, buscamos t_{1},t_{2} tais que \gamma_{1}(t_{1})=\gamma_{2}(t_{2}). Igualando coordenas:
8t_{1}^{3}=12t_{2}+2,
t_{1}=2t_{2},
10=10.

Passo 3

Substituindo t_{1}=2t_{2} na primeira equação:
8\,(2t_{2})^{3}=12t_{2}+2
64\,t_{2}^{3}-12t_{2}-2=0
32\,t_{2}^{3}-6t_{2}-1=0.
Testando t_{2}=\tfrac12 vê-se que
32\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{3}-6\Bigl(\tfrac12\Bigr)-1 =32\cdot\tfrac18-3-1 =4-3-1=0.
Logo t_{2}=\tfrac12 e t_{1}=2t_{2}=1. O ponto de interseção é
\gamma_{1}(1)=(8,1,10)=\gamma_{2}(\tfrac12).
Portanto sim, as trajetórias se interceptam no ponto (8,1,10).

Passo 4

Para haver colisão, além de \gamma_{1}(t)=\gamma_{2}(t) espacialmente, precisamos que ambos usem o mesmo parâmetro t. Igualando t_{1}=t_{2}=t em
8t^{3}=12t+2,
t=2t,
vemos pela segunda equação que t=0. Mas então a primeira daria
8\cdot0^{3}=0\quad\text{e}\quad12\cdot0+2=2,
o que não coincide. Logo não há instante em que estão juntos no mesmo ponto.

Resposta

a) Sim. As trajetórias se cruzam em (8,1,10).
b) Não. Não existe t em que \gamma_{1}(t)=\gamma_{2}(t).

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