Questão 5: (20 pontos) Calcule, simplificando sempre que possível:
( \mathbf{1 0} pontos) g^{\prime}(x), se g(x)=\frac{\cos x-\sqrt{x}}{x-1}.

Passo 1

Temos a função
g(x)=\frac{\cos x-\sqrt{x}}{x-1}
e queremos g'(x). O conteúdo aqui é a regra do quociente, que diz que se g(x)=\tfrac{u(x)}{v(x)}, então
g'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2}.

Passo 2

Definimos
u(x)=\cos x-\sqrt{x}, \quad v(x)=x-1.
Então
u'(x)=-\sin x-\frac{1}{2\sqrt{x}}, \quad v'(x)=1.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente,
g'(x) =\frac{\bigl(-\sin x-\tfrac{1}{2\sqrt{x}}\bigr)\,(x-1)\;-\;(\cos x-\sqrt{x})\cdot1}{(x-1)^2}.

Passo 4

Expandindo e reunindo termos, o numerador fica
-\sin x\,(x-1) -\frac{x-1}{2\sqrt{x}} -\cos x +\sqrt{x}.
Observando que \sqrt{x}=\tfrac{2x}{2\sqrt{x}}, temos
-\sin x\,(x-1) -\cos x +\frac{2x-(x-1)}{2\sqrt{x}} = (1-x)\sin x-\cos x+\frac{x+1}{2\sqrt{x}}.
Logo,
g'(x) =\frac{(1-x)\sin x-\cos x+\tfrac{x+1}{2\sqrt{x}}}{(x-1)^2}.

Resposta

g'(x) =\frac{(1-x)\,\sin x-\cos x+\dfrac{x+1}{2\sqrt{x}}}{(x-1)^2}.

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