Encontre uma parametrização para a curva dada pela intersecção das superfícies:
x^{2}+y^{2}+z-4=0 e x^{2}+y^{2}-z=0.

Passo 1

O enunciado dá duas superfícies do segundo grau em (x,y,z):
x^{2}+y^{2}+z-4=0
e
x^{2}+y^{2}-z=0.
O que queremos é parametrizar a curva que é a intersecção dessas duas superfícies. Para isso, vamos primeiro descobrir em que condição x e y devem satisfazer para que haja um z comum.

Passo 2

Das equações dadas, isolamos z em cada uma:
z = 4 - (x^{2}+y^{2})
e
z = x^{2}+y^{2}.

Passo 3

Igualando as duas expressões para z obtemos
4 - (x^{2}+y^{2}) \;=\; x^{2}+y^{2} \quad\Longrightarrow\quad 2\,(x^{2}+y^{2}) = 4 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+y^{2} = 2.
Substituindo de volta em z = x^{2}+y^{2}, temos z = 2. Logo, a curva de intersecção é o círculo de raio \sqrt{2} contido no plano z=2.

Passo 4

Para parametrizar esse círculo, usamos coordenadas polares no plano xy e mantemos z=2. Assim, uma parametrização é
\mathbf{r}(t) = \bigl(\sqrt{2}\cos t,\;\sqrt{2}\sin t,\;2\bigr),
com t\in [0,2\pi].

Resposta

\mathbf{r}(t) = \bigl(\sqrt{2}\cos t,\;\sqrt{2}\sin t,\;2\bigr),\quad 0\le t\le 2\pi.

Exercícios relacionados