Encontre uma parametrização para a curva dada pela intersecção das superfícies:
e
.
Passo 1
O enunciado dá duas superfícies do segundo grau em
:
e
O que queremos é parametrizar a curva que é a intersecção dessas duas superfícies. Para isso, vamos primeiro descobrir em que condição
e
devem satisfazer para que haja um
comum.
Passo 2
Das equações dadas, isolamos
em cada uma:
e
Passo 3
Igualando as duas expressões para
obtemos
Substituindo de volta em
, temos
. Logo, a curva de intersecção é o círculo de raio
contido no plano
.
Passo 4
Para parametrizar esse círculo, usamos coordenadas polares no plano
e mantemos
. Assim, uma parametrização é
com
.