Verifique se a função dada é uma solução da equação diferencial.
\frac{d y}{d x}+4 x y=8 x ; y_{c}=2+c e^{-2 x^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
\displaystyle y_c(x)=2 + c\,e^{-2x^2}
satisfaz a equação diferencial linear de primeira ordem
\displaystyle \frac{dy}{dx} + 4x\,y = 8x.
Para isso, vamos calcular \frac{dy_c}{dx} e substituir na equação, mostrando que a igualdade é satisfeita para todo x.

Passo 2

Calculemos a derivada de y_c. Como
\displaystyle y_c(x)=2 + c\,e^{-2x^2},
temos
\frac{dy_c}{dx} = c \,\frac{d}{dx}\bigl(e^{-2x^2}\bigr) = c\bigl(-4x\bigr)e^{-2x^2} = -4x\,c\,e^{-2x^2}.

Passo 3

Substituindo \frac{dy_c}{dx} e y_c na equação diferencial, obtemos
\frac{dy_c}{dx} + 4x\,y_c = \bigl(-4x\,c\,e^{-2x^2}\bigr) +4x\bigl(2 + c\,e^{-2x^2}\bigr) = -4x\,c\,e^{-2x^2} + 8x +4x\,c\,e^{-2x^2} = 8x.
Como o lado esquerdo coincide com 8x, a função y_c(x) realmente satisfaz a equação diferencial.

Resposta

A função \displaystyle y_c(x)=2 + c\,e^{-2x^2} é solução da equação diferencial \displaystyle \frac{dy}{dx}+4x\,y=8x.

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