O apresentador de um programa de auditório propôs aos participantes de uma competição a seguinte tarefa: cada participante teria 10 minutos para recolher moedas douradas colocadas aleatoriamente em um terreno destinado à realização da competição. A pontuação dos competidores seria calculada ao final do tempo destinado a cada um dos participantes, no qual as moedas coletadas por eles seriam contadas e a pontuação de cada um seria calculada, subtraindo do número de moedas coletadas uma porcentagem de valor igual ao número de moedas coletadas. Dessa forma, um participante que coletasse 60 moedas teria sua pontuação calculada da seguinte forma: pontuação = 60 – 36 (60% de 60) = 24. O vencedor da prova seria o participante que alcançasse a maior pontuação. Qual será o limite máximo de pontos que um competidor pode alcançar nessa prova?
a)25
b)50
c)75
d)100
a)25
b)50
c)75
d)100
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma competição onde os participantes coletam moedas em 10 minutos. A pontuação é calculada subtraindo uma porcentagem do número de moedas coletadas. Nosso objetivo é descobrir qual é a pontuação máxima que alguém pode alcançar nessa prova. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de matemática, especialmente envolvendo funções quadráticas.
Passo 2
Primeiro, vamos definir como calcular a pontuação. Se alguém coleta $ C $ moedas, a pontuação $ S $ é dada por:
Isso significa que estamos subtraindo uma porcentagem do próprio número de moedas coletadas.
Passo 3
Vamos simplificar essa expressão matemática:
Agora, temos uma função quadrática $ S© = -\frac{1}{100}C^2 + C $. Queremos encontrar o valor de $ C $ que maximiza $ S $.
Passo 4
Sabe como uma função quadrática tem um ponto de máximo ou mínimo? O máximo ou mínimo ocorre no vértice da parábola. A fórmula para encontrar a coordenada $ C $ do vértice é:
No nosso caso, $ a = -\frac{1}{100} $ e $ b = 1 $.
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula do vértice:
Então, a pessoa deve coletar 50 moedas para alcançar a pontuação máxima.
Passo 6
Agora, vamos calcular a pontuação máxima usando $ C = 50 $:
Portanto, a pontuação máxima que um participante pode alcançar é 25.
Resposta
A pontuação máxima que um competidor pode alcançar é 25.