(Apresentar antes da P3) Um difusor para um fluido incompressível e invíscido, com massa específica \rho=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} consiste em uma seção de tubo divergente. Na entrada o diâmetro é \mathrm{D}_{\mathrm{e}}=0,25 \mathrm{~m}, e na saída o diâmetro é \mathrm{D}_{\mathrm{s}}=0,75 \mathrm{~m} . \mathrm{O} comprimento do difusor é \mathrm{L}=1 \mathrm{~m}, e o diâmetro cresce linearmente com a distância x ao longo do difusor. Deduza e trace um gráfico da aceleração de uma partícula fluida considerando escoamento uniforme em cada seção, se a velocidade na entrada for V_{e}=5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Trace um gráfico do gradiente de pressão ao longo do difusor e determine seu valor máximo. Qual deve ser o comprimento do difusor de modo que o gradiente de pressão não ultrapasse 25 \mathrm{kPa} / \mathrm{m} ?

Passo 1

O enunciado dá um difusor para um fluido incompressível e invíscido com as seguintes informações: \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}, diâmetro na entrada \mathrm{D}_{e}=0,25\\ \mathrm{m}, diâmetro na saída \mathrm{D}_{s}=0,75\\ \mathrm{m}, comprimento L=1\\ \mathrm{m} (no primeiro item) e a velocidade na entrada V_{e}=5\\ \mathrm{m/s}. O diâmetro cresce linearmente com x ao longo do difusor. As perguntas são: deduzir e traçar (descrever) um gráfico da aceleração de uma partícula fluida ao longo do difusor (assumindo velocidade uniforme em cada seção), traçar um gráfico do gradiente de pressão ao longo do difusor e determinar seu valor máximo, e determinar qual deve ser o comprimento L para que o gradiente de pressão não ultrapasse 25\\ \mathrm{kPa/m}. Lista dos dados relevantes: \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}, \mathrm{D}_{e}=0,25\\ \mathrm{m}, \mathrm{D}_{s}=0,75\\ \mathrm{m}, V_{e}=5\\ \mathrm{m/s}, L (dado inicialmente 1\\ \mathrm{m}), crescimento linear de D(x).

Passo 2

Conservação de massa (continuidade) para fluxo incompressível e seção transversal uniforme: a vazão volumétrica Q é constante ao longo do tubo. A fórmula é
Q = A(x)\,V(x)
onde A(x) é a área da seção transversal e V(x) é a velocidade média na seção em x. Aqui A(x)=\dfrac{\pi}{4}D(x)^2. Como Q é constante, A(x)V(x)=A_e V_e. Explico: A_e é a área na entrada e V_e a velocidade na entrada; se a área aumenta, a velocidade média diminui de forma que o produto permaneça o mesmo.

Passo 3

Equação do diâmetro linear em função de x. Como D cresce linearmente de \mathrm{D}_{e} em x=0 até \mathrm{D}_{s} em x=L, temos
D(x)=\mathrm{D}_{e} + \frac{\mathrm{D}_{s}-\mathrm{D}_{e}}{L}\,x.
Para os valores numéricos dados ( L=1\\ \mathrm{m} no primeiro item),
D(x)=0,25 + 0,5\,x\quad(\mathrm{m}),\qquad 0\le x\le 1.
Aqui usei \mathrm{D}_{s}-\mathrm{D}_{e}=0,75-0,25=0,5\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Obtenção de V(x) a partir da continuidade. Como A\propto D^2,
V(x)=V_{e}\,\frac{A_{e}}{A(x)}=V_{e}\,\frac{D_{e}^2}{D(x)^2}.
Substituindo números (lembre que D(x)=0,25+0,5x para L=1),
V(x)=5\cdot\frac{0,25^2}{\bigl(0,25+0,5x\bigr)^2}= \frac{0,3125}{\bigl(0,25+0,5x\bigr)^2}\quad(\mathrm{m/s}).
Explicação didática: a velocidade decresce com o quadrado do diâmetro porque a área varia como D^2.

Passo 5

Definição e cálculo da aceleração de uma partícula fluida. Para escoamento estacionário unidimensional, a aceleração material (aceleração que sente uma partícula) é a aceleração convectiva
a(x)=V(x)\,\frac{dV}{dx}.
Vou calcular \dfrac{dV}{dx} escrevendo V em termos de D e dD/dx. Como V(x)=k\,D(x)^{-2} com k=V_e D_e^2, temos
\frac{dV}{dx} = \frac{d}{dx}\bigl(k D^{-2}\bigr) = -2k D^{-3}\frac{dD}{dx} = -2\frac{V(x)}{D(x)}\frac{dD}{dx}.
Portanto
a(x)=V\frac{dV}{dx} = -2\,\frac{V(x)^2}{D(x)}\frac{dD}{dx}.
Comentário: essa expressão mostra que, se o diâmetro aumenta ( dD/dx>0), então a(x)<0 — ou seja, o fluido desacelera dentro do difusor (o normal).

Passo 6

Aplicando ao caso numérico com L=1\\ \mathrm{m}. Primeiro calcule dD/dx:
\frac{dD}{dx}=\frac{\mathrm{D}_{s}-\mathrm{D}_{e}}{L}=\frac{0,5}{1}=0,5\\ \mathrm{(adimensional)}.
Substituindo em a(x),
a(x) = -2\,\frac{V(x)^2}{D(x)}\cdot 0,5 = -\frac{V(x)^2}{D(x)}.
Usando a expressão de V(x) do Passo 4,
V(x)=\frac{0,3125}{\bigl(0,25+0,5x\bigr)^2},
então
a(x) = -\frac{1}{0,25+0,5x}\left(\frac{0,3125}{\bigl(0,25+0,5x\bigr)^2}\right)^2 = -\frac{0,09765625}{\bigl(0,25+0,5x\bigr)^5}\quad(\mathrm{m/s^2}).
Cálculos em pontos importantes:
a(0) = -\frac{25}{0,25} = -100\\ \mathrm{m/s^2}\quad\text{(usar }V(0)=5\text{ m/s)},
V(1)=5\left(\frac{0,25}{0,75}\right)^2=\frac{5}{9}\approx 0,5556\\ \mathrm{m/s},
a(1) = -\frac{V(1)^2}{0,75}\approx -\frac{0,30864}{0,75}\approx -0,4115\\ \mathrm{m/s^2}.
Descrição do gráfico de a(x): é negativo em todo o difusor (desaceleração), com grande magnitude perto da entrada ( x=0) e decrescendo rapidamente em módulo conforme x aumenta. Um esboço mental: curva negativa muito alta em x=0 e que se aproxima de zero negativamente em x\to 1.

Passo 7

Gradiente de pressão a partir da equação de Euler (escoamento invíscido, sem forças de corpo): a equação unidimensional é
\rho\,V\frac{dV}{dx} = -\frac{dp}{dx}.
Como a(x)=V\,dV/dx, temos
\frac{dp}{dx} = -\rho\,a(x).
Usando a expressão de a(x) do Passo 5,
\frac{dp}{dx} = 2\rho\,\frac{V(x)^2}{D(x)}\frac{dD}{dx}.
Para L=1 (onde dD/dx=0,5), isto simplifica para
\frac{dp}{dx} = \rho\,\frac{V(x)^2}{D(x)}.
Observe que \frac{dp}{dx}>0 ao longo do difusor (pressão aumenta na direção do escoamento), e como \frac{dp}{dx} depende fortemente de D(x) (via V(x) e D(x)), o máximo de \frac{dp}{dx} ocorre onde D é mínimo, isto é, em x=0. Computando numericamente:
\left.\frac{dp}{dx}\right|_{x=0} = 1000\cdot\frac{5^2}{0,25}=1000\cdot\frac{25}{0,25}=100000\\ \mathrm{Pa/m}=100\\ \mathrm{kPa/m}.
No final x=1:
\left.\frac{dp}{dx}\right|_{x=1}=1000\cdot\frac{V(1)^2}{0,75}\approx 1000\cdot0,4115=411,5\\ \mathrm{Pa/m}\approx 0,412\\ \mathrm{kPa/m}.
Descrição do gráfico de \frac{dp}{dx}: começa alto em x=0 (máximo), decresce rapidamente com x e fica pequeno perto da saída.

Passo 8

Determinar o comprimento L tal que o gradiente de pressão não ultrapasse 25\\ \mathrm{kPa/m}=25000\\ \mathrm{Pa/m}. Use a expressão geral de \frac{dp}{dx} no ponto de entrada ( x=0), onde ocorre o máximo:
\left.\frac{dp}{dx}\right|_{x=0} = 2\rho\,\frac{V_e^2}{D_e}\,\frac{\mathrm{D}_{s}-\mathrm{D}_{e}}{L}.
Expliquei: \dfrac{dD}{dx}=(\mathrm{D}_{s}-\mathrm{D}_{e})/L. Reorganizando para L,
L \ge 2\rho\,\frac{V_e^2}{D_e}\,\frac{\mathrm{D}_{s}-\mathrm{D}_{e}}{\left(\dfrac{dp}{dx}\right)_{\max\\ allowed}}.
Substituindo números:
L \ge \frac{2\cdot 1000\cdot 5^2\cdot 0,5}{0,25\cdot 25000} = \frac{100000}{25000}=4\\ \mathrm{m}.
Portanto o comprimento mínimo para garantir \dfrac{dp}{dx}\le 25\\ \mathrm{kPa/m} ao longo do difusor é L=4\\ \mathrm{m} (qualquer comprimento maior também atende).

Passo 9

Resumo interpretativo e dicas para a prova: a velocidade decresce como 1/D^2, a aceleração convectiva de um fluido em escoamento estacionário unidimensional é a=V\,dV/dx (atenção: não confunda com derivada temporal), e o gradiente de pressão segue da equação de Euler \rho V dV/dx = -dp/dx. Nas contas é prático expressar tudo em função de D(x) quando o diâmetro varia linearmente. Para o gráfico: aceleração negativa com grande magnitude na entrada; gradiente de pressão positivo máximo na entrada e decrescendo ao longo do difusor. Força-se a conclusão física: quanto mais abrupto o difusor (menor L), maior o gradiente de pressão na entrada.

Resposta

a(x) = -2\,\dfrac{V(x)^2}{D(x)}\,\dfrac{dD}{dx}. Para L=1\\ \mathrm{m} (portanto dD/dx=0,5) isto simplifica para a(x)=-\dfrac{V(x)^2}{D(x)}, com V(x)=\dfrac{0,3125}{\bigl(0,25+0,5x\bigr)^2}. Valores: a(0)=-100\\ \mathrm{m/s^2}, a(1)\approx -0,4115\\ \mathrm{m/s^2}.\n \displaystyle \left.\frac{dp}{dx}\right|_{x} = 2\rho\,\frac{V(x)^2}{D(x)}\frac{dD}{dx}; para L=1 isso é \frac{dp}{dx}=\rho\frac{V(x)^2}{D(x)}. O máximo ocorre em x=0 e vale \left.\dfrac{dp}{dx}\right|_{\max}=100000\\ \mathrm{Pa/m}=100\\ \mathrm{kPa/m}.\nComprimento mínimo para \dfrac{dp}{dx}\le 25\\ \mathrm{kPa/m}: L_{\min}=4\\ \mathrm{m}.

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