Questão
Um homem de 80 kg está descendo uma ladeira e, em um certo ponto, ele escorrega. Neste ponto, houve um derramamento de óleo no dia anterior, que formou uma fina película, com altura de
, que foi responsável pelo escorregão do homern. O perfil de velocidade formado na película é linear, onde a coordenada y coincide com a superficie inclinada de
. Determine a distância que o homem levou escorregando, sabendo-se a yelocidade final foi de
(use a aceleração média entre
e
). A área de contato do sapato com o óleo é constante
e o peso do homem é distribuído de mancira igual sobre esta área.
viscosidade do óleo
a
(s é o espaço, a é a aceleração e t é o tempo)
Passo 1
Vou resumir com calma o que o enunciado dá e o que pede, para a gente não se perder.\n
Dados fornecidos (extraído do enunciado):\n
massa do homem: \n
inclinação: \n
espessura da película de óleo: \n
perfil de velocidade na película: linear (isto será importante)\n
velocidade final: (parte do enunciado)\n
área de contato do sapato com o óleo: \n
peso distribuído igualmente sobre a área (logo a normal é a componente normal do peso)\n
aceleração gravitacional: \n
viscosidade do óleo: \n
instrução do enunciado: usar a aceleração média entre e
.\n
O que se pede: determinar a distância que o homem percorreu escorregando até atingir
.
Dados fornecidos (extraído do enunciado):\n
massa do homem:
inclinação:
espessura da película de óleo:
perfil de velocidade na película: linear (isto será importante)\n
velocidade final:
área de contato do sapato com o óleo:
peso distribuído igualmente sobre a área (logo a normal é a componente normal do peso)\n
aceleração gravitacional:
viscosidade do óleo:
instrução do enunciado: usar a aceleração média entre
O que se pede: determinar a distância
Passo 2
Entendendo as forças e o modelo físico (aulas rápidas, passo a passo).\n
Quando ele escorrega numa inclinação, há duas forças relevantes ao longo do plano:\n
Quando ele escorrega numa inclinação, há duas forças relevantes ao longo do plano:\n
- a componente do peso que puxa para baixo ao longo do plano:
.\n - a resistência viscosa criada pela película de óleo entre o sapato (que se move) e a superfície (que está fixa). Para um fluido newtoniano, a tensão de cisalhamento (shear stress) é dada por\n
onde
é a tensão de cisalhamento (em
),
é a viscosidade,
é a velocidade do fluido ao longo da direção do movimento e
é a coordenada perpendicular à superfície.\n
Como o perfil de velocidade é linear entre a superfície (velocidade zero) e o sapato (velocidade ), a derivada
vale
. Logo\n
Como o perfil de velocidade é linear entre a superfície (velocidade zero) e o sapato (velocidade
A força viscosa total que atua sobre o sapato (e portanto sobre o corpo) é essa tensão vezes a área de contato:
Essa força é uma força de resistência que se opõe ao movimento.
Passo 3
Escrevendo a equação do movimento ao longo do plano e isolando a aceleração.\n
A equação da segunda lei de Newton ao longo do plano é
A equação da segunda lei de Newton ao longo do plano é
Dividindo por
obtemos a aceleração instantânea como função da velocidade
:
Aqui cada símbolo significa:\n
— aceleração ao longo do plano quando a velocidade é
;\n
— aceleração da gravidade;\n
— ângulo da inclinação;\n
— viscosidade do óleo;\n
— área de contato;\n
— massa;\n
— espessura da película;\n
— velocidade instantânea.
Passo 4
Vamos calcular o coeficiente que multiplica
em
e avaliá-lo numericamente.\n
O coeficiente é
O coeficiente é
Substituindo os valores (tudo em TeX):
Fazendo as contas passo a passo:\n
.\n
.\n
Logo
Logo
Portanto a expressão para a aceleração fica
Passo 5
Avaliar a aceleração nos extremos pedidos:
e
.\n
Primeiro calcule :
Primeiro calcule
Agora
:
E
:
Observação intuitiva: a resistência viscosa é proporcional à velocidade; mesmo a
a perda pela viscosidade aqui é pequena, então a aceleração continua positiva (ele ainda acelera, só um pouco menos).
Passo 6
Calcular a aceleração média entre
e
, conforme o enunciado.\n
A aceleração média pedida é
A aceleração média pedida é
Passo 7
Usar cinemática para achar a distância percorrida até atingir
.\n
Como o enunciado orienta a usar a aceleração média (isto é, vamos tratar a aceleração como aproximadamente constante e igual a ), podemos usar a relação cinemática
Como o enunciado orienta a usar a aceleração média (isto é, vamos tratar a aceleração como aproximadamente constante e igual a
Aqui
. Reescrevendo para
:
Substituindo
e
:
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais):
Passo 8
Pequeno comentário final e verificação rápida (motivação e tranquilidade).\n
- A distância é curta (
), o que faz sentido: a película de óleo é fina e, apesar de reduzir o atrito, a componente do peso ao longo do plano ainda é moderada; além disso, o homem já alcança apenas nesse trecho.\n - Se quiser, dá para calcular o tempo aproximado até
com — é rápido, o escorregão acontece em fração de segundo.\n
Força e calma: você já entendeu o caminho — identificar forças, escrever, usar tensão de cisalhamento com perfil linear, achar , tirar a média e aplicar cinemática. Mandou bem por trazer o problema!