Qual a diferença de pressão entre os pontos (0,0) e (1,2) ? Considere \rho=1,23 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} \mathrm{e} \mathrm{A}=\mathrm{B}=1
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Passo 1

O enunciado pede: qual a diferença de pressão entre os pontos (0,0) e (1,2). As informações dadas são: \rho=1{,}23\\ \mathrm{kg/m^{3}} e A=B=1. Vou tomar a convenção de calcular a diferença como
\Delta p = p(1,2)-p(0,0).

Passo 2

Interpretação necessária do enunciado (sem isto não dá para calcular): a presença de A e B sugere que existe um campo de velocidade do tipo \mathbf{v}=(Ax,By) cujo efeito sobre a pressão devemos estimar (essa é uma formulação bastante comum). Vou, portanto, assumir que o problema refere-se a um escoamento estacionário, incompressível e invíscido, sem forças de corpo (como gravidade) atuando — ou seja, que podemos usar as equações de Euler estacionárias:
\rho(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v} = -\nabla p.
Se o enunciado for outro (por exemplo: apenas hidroestática ou houver gravidade), o procedimento muda; explico isso depois.

Passo 3

Explicando a equação de Euler que vou usar: \rho é a densidade do fluido, \mathbf{v} é o campo de velocidades, \nabla é o operador gradiente espacial e p é a pressão. A equação escrita significa que as variações espaciais da velocidade (inércia do fluido) geram um gradiente de pressão que satisfaz essa igualdade. Em palavras: para escoamento estacionário e sem viscosidade, a inércia do fluido é balanceada pelo gradiente de pressão.

Passo 4

Agora calculo (\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v} para \mathbf{v}=(Ax,By). Escrevendo componentes,
u(x,y)=Ax,\qquad v(x,y)=By.
O operador convectivo atua componente a componente:
(\mathbf{v}\cdot\nabla)u = u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y},
(\mathbf{v}\cdot\nabla)v = u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}.
Calculemos as derivadas:
\frac{\partial u}{\partial x}=A,\quad \frac{\partial u}{\partial y}=0,\quad \frac{\partial v}{\partial x}=0,\quad \frac{\partial v}{\partial y}=B.
Logo
(\mathbf{v}\cdot\nabla)u = (Ax)\cdot A + (By)\cdot 0 = A^{2}x,
(\mathbf{v}\cdot\nabla)v = (Ax)\cdot 0 + (By)\cdot B = B^{2}y.
Portanto
(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v} = \bigl(A^{2}x,\;B^{2}y\bigr).

Passo 5

Substituindo na equação de Euler \rho(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v} = -\nabla p, obtemos as componentes do gradiente de pressão:
\frac{\partial p}{\partial x} = -\rho A^{2}x,\qquad \frac{\partial p}{\partial y} = -\rho B^{2}y.
Isso significa que o gradiente de pressão é conservativo e integrável (as condições de compatibilidade entre derivadas mistas são satisfeitas aqui), então existe uma função escalar p(x,y) consistente com essas derivadas parciais.

Passo 6

Integramos a primeira equação em relação a x:
p(x,y) = -\rho\frac{A^{2}x^{2}}{2} + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y. Derivando essa expressão em y e igualando à segunda componente do gradiente:
\frac{\partial p}{\partial y} = h'(y) = -\rho B^{2}y.
Integramos em y:
h(y) = -\rho\frac{B^{2}y^{2}}{2} + C,
com C constante arbitrária. Logo a pressão é
p(x,y) = -\rho\frac{A^{2}x^{2}}{2} - \rho\frac{B^{2}y^{2}}{2} + C.

Passo 7

Agora substituímos A=B=1. Temos
p(x,y) = -\rho\frac{x^{2}}{2} - \rho\frac{y^{2}}{2} + C = -\rho\frac{x^{2}+y^{2}}{2} + C.
A diferença de pressão pedida é
\Delta p = p(1,2)-p(0,0) = \Bigl(-\rho\frac{1^{2}+2^{2}}{2}+C\Bigr) - \Bigl(-\rho\frac{0^{2}+0^{2}}{2}+C\Bigr).
Os termos constantes C cancelam, ficando
\Delta p = -\rho\frac{1+4}{2} = -\rho\cdot\frac{5}{2}.
Com \rho=1{,}23\\ \mathrm{kg/m^{3}},
\Delta p = -1{,}23\cdot\frac{5}{2} = -1{,}23\cdot 2{,}5 = -3{,}075\\ \mathrm{Pa}.

Passo 8

Interpretação física breve: o sinal negativo indica que a pressão no ponto (1,2) é menor que a pressão em (0,0) por 3{,}075\\ \mathrm{Pa}. Repare que essa conclusão depende da hipótese que adotamos (campo de velocidade \mathbf{v}=(Ax,By), escoamento estacionário invícido e sem gravidade). Se o enunciado original quisesse hidroestática (força de gravidade), ou se houvesse outra relação entre A,B e a pressão, o resultado seria diferente.

Resposta

-3{,}075\\ \mathrm{Pa}

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