Qual a diferença de pressão entre os pontos
e
? Considere
Passo 1
O enunciado pede: qual a diferença de pressão entre os pontos
e
. As informações dadas são:
e
. Vou tomar a convenção de calcular a diferença como
Passo 2
Interpretação necessária do enunciado (sem isto não dá para calcular): a presença de
e
sugere que existe um campo de velocidade do tipo
cujo efeito sobre a pressão devemos estimar (essa é uma formulação bastante comum). Vou, portanto, assumir que o problema refere-se a um escoamento estacionário, incompressível e invíscido, sem forças de corpo (como gravidade) atuando — ou seja, que podemos usar as equações de Euler estacionárias:
Se o enunciado for outro (por exemplo: apenas hidroestática ou houver gravidade), o procedimento muda; explico isso depois.
Passo 3
Explicando a equação de Euler que vou usar:
é a densidade do fluido,
é o campo de velocidades,
é o operador gradiente espacial e
é a pressão. A equação escrita significa que as variações espaciais da velocidade (inércia do fluido) geram um gradiente de pressão que satisfaz essa igualdade. Em palavras: para escoamento estacionário e sem viscosidade, a inércia do fluido é balanceada pelo gradiente de pressão.
Passo 4
Agora calculo
para
. Escrevendo componentes,
O operador convectivo atua componente a componente:
Calculemos as derivadas:
Logo
Portanto
Passo 5
Substituindo na equação de Euler
, obtemos as componentes do gradiente de pressão:
Isso significa que o gradiente de pressão é conservativo e integrável (as condições de compatibilidade entre derivadas mistas são satisfeitas aqui), então existe uma função escalar
consistente com essas derivadas parciais.
Passo 6
Integramos a primeira equação em relação a
:
onde
é uma função arbitrária de
. Derivando essa expressão em
e igualando à segunda componente do gradiente:
Integramos em
:
com
constante arbitrária. Logo a pressão é
Passo 7
Agora substituímos
. Temos
A diferença de pressão pedida é
Os termos constantes
cancelam, ficando
Com
,
Passo 8
Interpretação física breve: o sinal negativo indica que a pressão no ponto
é menor que a pressão em
por
. Repare que essa conclusão depende da hipótese que adotamos (campo de velocidade
, escoamento estacionário invícido e sem gravidade). Se o enunciado original quisesse hidroestática (força de gravidade), ou se houvesse outra relação entre
e a pressão, o resultado seria diferente.