Considere 2 vórtices, girando em sentidos oposto, com mesma intensidade Γ e centros posicionados em (-a, 0 ) e ( a, 0 ).
Qual a função potencial do escoamento?
\bigcirc \varphi=\frac{\Gamma}{2 \pi} \operatorname{atan}\left(\frac{2 a y}{x^{2}-y^{2}-a^{2}}\right)
\bigcirc \varphi=\frac{\Gamma}{2 \pi} \operatorname{atan}\left(\frac{y /(x-a)-y /(x+a)}{1+y^{2} /\left(x^{2}-a^{2}\right)}\right)
\bigcirc \varphi=\frac{\Gamma}{2 \pi} \frac{2 a y}{x^{2}-y^{2}-a^{2}}
\bigcirc \varphi=0

Passo 1

O enunciado dá dois vórtices com mesma intensidade \Gamma, girando em sentidos opostos, com centros em (-a,0) e (a,0). Pede: qual é a função potencial \varphi(x,y) do escoamento? As alternativas apresentadas são:
\begin{gathered} \text{(1)}\quad \varphi=\frac{\Gamma}{2 \pi}\operatorname{atan}\!\left(\frac{2 a y}{x^{2}-y^{2}-a^{2}}\right)\\[4pt] \text{(2)}\quad \varphi=\frac{\Gamma}{2 \pi}\operatorname{atan}\!\left(\frac{y /(x-a)-y /(x+a)}{1+y^{2} /\left(x^{2}-a^{2}\right)}\right)\\[4pt] \text{(3)}\quad \varphi=\frac{\Gamma}{2 \pi}\frac{2 a y}{x^{2}-y^{2}-a^{2}}\\[4pt] \text{(4)}\quad \varphi=0 \end{gathered}
Informações relevantes dadas:
  • Posições dos centros: (-a,0) e (a,0).
  • Intensidade (módulo da circulação) de cada vórtice: \Gamma.
  • Sentidos opostos (um tem circulação +\Gamma, o outro -\Gamma; a escolha de qual é qual apenas muda um sinal global na expressão).
    A partir daqui vamos construir a função potencial e comparar com as alternativas.]

Passo 2

Conceito-chave (explicado devagar): o potencial complexo de um vórtice pontual de circulação \Gamma_0 localizado em z_0 (com z=x+iy) é
w(z) = -\frac{i\Gamma_0}{2\pi}\ln(z-z_0).
Aqui w(z) é a função complexa cujas partes real e imaginária são, respectivamente, a potencial de velocidade \varphi e a função corrente \psi. Em palavras: a parte real de -\frac{i\Gamma_0}{2\pi}\ln(\cdot) é o potencial \varphi. Nota: \ln tem parte imaginária igual ao argumento (ângulo) do complexo. Por isso \varphi ficará ligado a argumentos (atan/atan2).

Passo 3

Vamos somar as contribuições dos dois vórtices (superposição linear). Escolho a convenção em que o vórtice em z=a tem circulação +\Gamma e o vórtice em z=-a tem circulação -\Gamma — isso corresponde a sentidos opostos e dá a forma padrão positiva na alternativa (2). As contribuições são:
w_1(z)\\ (\text{vórtice em }z=a,\\ \Gamma) = -\frac{i\Gamma}{2\pi}\ln(z-a),ó
w_2(z)\\ (\text{vórtice em }z=-a,\\\ -\Gamma) = -\frac{i(-\Gamma)}{2\pi}\ln(z+ a)=\frac{i\Gamma}{2\pi}\ln(z+a).ó
Somando:
w(z)=w_1+w_2 = -\frac{i\Gamma}{2\pi}\ln(z-a)+\frac{i\Gamma}{2\pi}\ln(z+a) =\frac{i\Gamma}{2\pi}\ln\!\left(\frac{z+a}{\,z-a\,}\right).

Passo 4

Agora extraímos a parte real (potencial \varphi). Escrevendo
\frac{z+a}{z-a}=R e^{i\Theta},
temos \ln\!\left(\frac{z+a}{z-a}\right)=\ln R + i\Theta. Multiplicando por i obtemos
w(z)=\frac{i\Gamma}{2\pi}(\ln R + i\Theta)=\frac{i\Gamma}{2\pi}\ln R -\frac{\Gamma}{2\pi}\Theta.
A parte real é, portanto,
\varphi(x,y) = -\frac{\Gamma}{2\pi}\Theta.
Mas atenção: \Theta=\arg\!\left(\frac{z+a}{z-a}\right)=\arg(z+a)-\arg(z-a). Usando essa forma:
\varphi(x,y) = -\frac{\Gamma}{2\pi}\big(\arg(z+a)-\arg(z-a)\big).
Podemos trocar a ordem (mudar sinal) para obter a forma alternativa com sinal positivo; lembrando que a escolha inicial das circulações podia ser invertida. Com a convenção adotada no Passo 3 (vórtice em a com +\Gamma), temos de fato:
\varphi(x,y) = \frac{\Gamma}{2\pi}\big(\arg(z-a)-\arg(z+a)\big).
Isto é equivalente e costuma ser a forma apresentada.

Passo 5

Expressão em termos de arctan: escrevendo z-a=(x-a)+iy e z+a=(x+a)+iy, os argumentos são \arg(z-a)=\operatorname{atan2}(y,x-a) e \arg(z+a)=\operatorname{atan2}(y,x+a). Portanto
\varphi(x,y)=\frac{\Gamma}{2\pi}\big(\operatorname{atan2}(y,x-a)-\operatorname{atan2}(y,x+a)\big).
Para escrever com a função \operatorname{atan} simples (identidade de diferença de arctangentes), use a identidade
\operatorname{atan}(u)-\operatorname{atan}(v)=\operatorname{atan}\!\left(\frac{u-v}{1+uv}\right),
válida quando o ramo do \operatorname{atan} for apropriado (a diferença de \operatorname{atan2} dá o mesmo argumento, até constantes de \pi em casos de mudança de ramo). Tome u=\dfrac{y}{x-a} e v=\dfrac{y}{x+a}. Então
\varphi(x,y)=\frac{\Gamma}{2\pi}\operatorname{atan}\!\left(\frac{\dfrac{y}{x-a}-\dfrac{y}{x+a}}{1+\dfrac{y}{x-a}\cdot\dfrac{y}{x+a}}\right).
Essa expressão é exatamente a alternativa (2).

Passo 6

Simplificação algébrica final (para ver forma mais compacta): calcule numerador e denominador da fração interna:
numerador
\dfrac{y}{x-a}-\dfrac{y}{x+a}=y\cdot\frac{(x+a)-(x-a)}{(x-a)(x+a)}=y\cdot\frac{2a}{x^{2}-a^{2}}=\frac{2ay}{x^{2}-a^{2}}.
denominador
1+\dfrac{y^{2}}{(x-a)(x+a)}=1+\dfrac{y^{2}}{x^{2}-a^{2}}=\frac{x^{2}-a^{2}+y^{2}}{x^{2}-a^{2}}.
Dividindo numerador por denominador:
\frac{\dfrac{2ay}{x^{2}-a^{2}}}{\dfrac{x^{2}-a^{2}+y^{2}}{x^{2}-a^{2}}}=\frac{2ay}{x^{2}+y^{2}-a^{2}}.
Assim uma forma compacta é
\varphi(x,y)=\frac{\Gamma}{2\pi}\operatorname{atan}\!\left(\frac{2ay}{x^{2}+y^{2}-a^{2}}\right),
que coincide (até convenções de ramo do \operatorname{atan}) com a alternativa obtida no Passo 5. Observe que a alternativa (1) tinha x^{2}-y^{2}-a^{2} no denominador — isso é diferente (sinal do termo y^{2}) e, portanto, está incorreto. A alternativa (3) não tem \operatorname{atan} (está esquecendo que \varphi vem do argumento angular, não de uma razão linear), então também está errada. A alternativa (4) \varphi=0 não é correta porque há variação angular no campo.

Resposta

\displaystyle \varphi=\frac{\Gamma}{2 \pi}\operatorname{atan}\!\left(\frac{y /(x-a)-y /(x+a)}{1+y^{2} /\left(x^{2}-a^{2}\right)}\right)

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