Considere 2 vórtices, girando em sentidos oposto, com mesma intensidade Γ e centros posicionados em (-a, 0 ) e ( a, 0 ).
Qual a função potencial do escoamento? \bigcirc\varphi=\frac{\Gamma}{2 \pi} \operatorname{atan}\left(\frac{2 a y}{x^{2}-y^{2}-a^{2}}\right) \bigcirc\varphi=\frac{\Gamma}{2 \pi} \operatorname{atan}\left(\frac{y /(x-a)-y /(x+a)}{1+y^{2} /\left(x^{2}-a^{2}\right)}\right) \bigcirc\varphi=\frac{\Gamma}{2 \pi} \frac{2 a y}{x^{2}-y^{2}-a^{2}} \bigcirc\varphi=0
Passo 1
O enunciado dá dois vórtices com mesma intensidade \Gamma, girando em sentidos opostos, com centros em (-a,0) e (a,0). Pede: qual é a função potencial \varphi(x,y) do escoamento? As alternativas apresentadas são:
\begin{gathered} \text{(1)}\quad \varphi=\frac{\Gamma}{2 \pi}\operatorname{atan}\!\left(\frac{2 a y}{x^{2}-y^{2}-a^{2}}\right)\\[4pt] \text{(2)}\quad \varphi=\frac{\Gamma}{2 \pi}\operatorname{atan}\!\left(\frac{y /(x-a)-y /(x+a)}{1+y^{2} /\left(x^{2}-a^{2}\right)}\right)\\[4pt] \text{(3)}\quad \varphi=\frac{\Gamma}{2 \pi}\frac{2 a y}{x^{2}-y^{2}-a^{2}}\\[4pt] \text{(4)}\quad \varphi=0 \end{gathered}
Informações relevantes dadas:
Posições dos centros: (-a,0) e (a,0).
Intensidade (módulo da circulação) de cada vórtice: \Gamma.
Sentidos opostos (um tem circulação +\Gamma, o outro -\Gamma; a escolha de qual é qual apenas muda um sinal global na expressão).
A partir daqui vamos construir a função potencial e comparar com as alternativas.]
Passo 2
Conceito-chave (explicado devagar): o potencial complexo de um vórtice pontual de circulação \Gamma_0 localizado em z_0 (com z=x+iy) é
w(z) = -\frac{i\Gamma_0}{2\pi}\ln(z-z_0).
Aqui w(z) é a função complexa cujas partes real e imaginária são, respectivamente, a potencial de velocidade \varphi e a função corrente \psi. Em palavras: a parte real de -\frac{i\Gamma_0}{2\pi}\ln(\cdot) é o potencial \varphi. Nota: \ln tem parte imaginária igual ao argumento (ângulo) do complexo. Por isso \varphi ficará ligado a argumentos (atan/atan2).
Passo 3
Vamos somar as contribuições dos dois vórtices (superposição linear). Escolho a convenção em que o vórtice em z=a tem circulação +\Gamma e o vórtice em z=-a tem circulação -\Gamma — isso corresponde a sentidos opostos e dá a forma padrão positiva na alternativa (2). As contribuições são:
w_1(z)\\ (\text{vórtice em }z=a,\\ \Gamma) = -\frac{i\Gamma}{2\pi}\ln(z-a),
w_2(z)\\ (\text{vórtice em }z=-a,\\\ -\Gamma) = -\frac{i(-\Gamma)}{2\pi}\ln(z+ a)=\frac{i\Gamma}{2\pi}\ln(z+a).
Podemos trocar a ordem (mudar sinal) para obter a forma alternativa com sinal positivo; lembrando que a escolha inicial das circulações podia ser invertida. Com a convenção adotada no Passo 3 (vórtice em a com +\Gamma), temos de fato:
Isto é equivalente e costuma ser a forma apresentada.
Passo 5
Expressão em termos de arctan: escrevendo z-a=(x-a)+iy e z+a=(x+a)+iy, os argumentos são \arg(z-a)=\operatorname{atan2}(y,x-a) e \arg(z+a)=\operatorname{atan2}(y,x+a). Portanto
válida quando o ramo do \operatorname{atan} for apropriado (a diferença de \operatorname{atan2} dá o mesmo argumento, até constantes de \pi em casos de mudança de ramo). Tome u=\dfrac{y}{x-a} e v=\dfrac{y}{x+a}. Então
que coincide (até convenções de ramo do \operatorname{atan}) com a alternativa obtida no Passo 5. Observe que a alternativa (1) tinha x^{2}-y^{2}-a^{2} no denominador — isso é diferente (sinal do termo y^{2}) e, portanto, está incorreto. A alternativa (3) não tem \operatorname{atan} (está esquecendo que \varphi vem do argumento angular, não de uma razão linear), então também está errada. A alternativa (4) \varphi=0 não é correta porque há variação angular no campo.