Apresentar, detalhadamente, os 8 passos que estudamos em aula, para definir o comportamento do gráfico da função
f(t)=-t^2t+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente vai fazer aqui é analisar o comportamento do gráfico da função $ f(t) = \frac{-t^{2}}{t + 1} $. Para isso, vamos usar conceitos de funções racionais, como domínio, interceptos, assíntotas, derivadas para encontrar máximos e mínimos, e análise de sinais. Vamos resolver isso passo a passo para entender direitinho como o gráfico se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de $ t $ onde a função está definida, ou seja, onde o denominador não é zero.
Temos:
t
Então, o domínio é todos os números reais exceto $ t = -1 $.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os interceptos da função. Primeiro, o intercepto com o eixo y ocorre quando $ t = 0 $:
t = 0
Então, o intercepto com o eixo y é $ (0, 0) $.
Para encontrar os interceptos com o eixo x, resolvemos $ f(t) = 0 $:
f(0) = -0^20 + 1 = 0
Portanto, o único intercepto com o eixo x é $ (0, 0) $.

Passo 4

Vamos identificar as assíntotas da função. As assíntotas podem ser horizontais, verticais ou oblíquas.
Assíntota vertical: ocorre onde o denominador é zero.
t + 1 = 0 implies t = -1
Então, a assíntota vertical é $ t = -1 $.
Assíntota horizontal ou oblíqua: analisamos o limite quando $ t $ tende ao infinito.
t = -1
Como o grau do numerador é maior que o do denominador, não existe assíntota horizontal. Em vez disso, existe uma assíntota oblíqua. Fazemos a divisão polinomial:
t
Então, a assíntota oblíqua é $ y = -t + 1 $.

Passo 5

Vamos determinar a derivada da função para encontrar os pontos críticos, que nos ajudam a identificar máximos e mínimos locais.
A função é:
f(t) = -t^2t + 1
Usamos a regra do quociente:
f'(t) = (-2t)(t + 1) - (-t^2)(1)(t + 1)^2 = -2t(t + 1) + t^2(t + 1)^2 = -2t^2 - 2t + t^2(t + 1)^2 = -t^2 - 2t(t + 1)^2
Simplificando:
f'(t) = -t(t + 2)(t + 1)^2

Passo 6

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo $ f’(t) = 0 $:
f'(t) = 0
Então, temos pontos críticos em $ t = 0 $ e $ t = -2 $.

Passo 7

Vamos analisar a concavidade e identificar se os pontos críticos são máximos ou mínimos. Para isso, podemos usar a segunda derivada ou analisar o sinal da primeira derivada ao redor dos pontos críticos.
Optando pela segunda derivada, calculamos $ f’’(t) $. Isso pode ser complexo, então vamos simplificar observando que:
  • Para $ t = 0 $: analisando os sinais de $ f’(t) $ ao redor de 0, vemos que a derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo local.
  • Para $ t = -2 $: a derivada muda de positiva para negativa, indicando um máximo local.

Passo 8

Por fim, vamos analisar os sinais da função para entender onde ela é positiva ou negativa, e como se comporta entre as assíntotas e os pontos críticos.
  • Para $ t < -2 $: $ f(t) > 0 $
  • Entre $ t = -2 $ e $ t = -1 $: $ f(t) < 0 $
  • Entre $ t = -1 $ e $ t = 0 $: $ f(t) < 0 $
  • Para $ t > 0 $: $ f(t) < 0 $
Isso nos ajuda a desenhar o gráfico, identificando onde a função está acima ou abaixo do eixo t.

Resposta

Após seguir os 8 passos, concluímos que o gráfico de $ f(t) = \frac{-t^{2}}{t + 1} $ possui:
  • Domínio: $ t \in \mathbb{R} $ e $ t \neq -1 $
  • Intercepto: $ (0, 0) $
  • Assíntotas: vertical em $ t = -1 $ e oblíqua $ y = -t + 1 $
  • Ponto de mínimo local em $ t = 0 $ e ponto de máximo local em $ t = -2 $
  • Comportamento da função negativo na maior parte do domínio, com variações de sinal conforme os intervalos determinados
O gráfico reflete esses comportamentos, aproximando-se das assíntotas e exibindo os pontos de máximo e mínimo conforme calculado.

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