Um objeto é movimentado ao longo do elipse
entre os pontos
e
e continua seu movimento ao longo da parábola
até chegar até o ponto
donde volta em linha reta ao ponto inicial. Se o movimento se da sob a ação do campo
então podemos afirmar que o trabalho feito pelo campo
está entre:
a.
e
.
a.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que fala sobre calcular o trabalho feito por um campo vetorial
ao longo de um caminho específico. O objeto se move primeiro em uma elipse, depois em uma parábola e, por fim, em linha reta de volta ao ponto inicial. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de um caminho, usando integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho
feito por um campo vetorial
ao longo de um caminho
é dado pela integral de linha:
Aqui,
representa o produto escalar entre o campo vetorial e o diferencial de posição ao longo do caminho.
Passo 3
Agora, vamos identificar os diferentes segmentos do caminho:
- Elipse:
, de a . - Parábola:
, de a . - Linha reta: de
de volta a .
Vamos calcular o trabalho em cada segmento e somar.
Passo 4
Segmento 1: Elipse
Para parametrizar a elipse, usamos:
Onde
varia de
(para
) a
(para
).
Calculamos
:
Então,
Substituindo
e
na função
:
Agora, calculamos o produto escalar
:
A integral fica complicada, mas notamos que o campo vetorial
pode ser conservativo, o que simplifica o cálculo.
Passo 5
Vamos verificar se
é conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se existir uma função potencial
tal que
e
. Além disso, as condições de igualdade das derivadas cruzadas devem ser satisfeitas:
Calculando:
Como
, o campo
não é conservativo. Então, precisamos calcular a integral diretamente.
Passo 6
Dado que calcular a integral ao longo de cada segmento é complexo, observamos que o caminho fechado formou um ciclo. Podemos usar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de um caminho fechado com a integral dupla sobre a área delimitada.
O Teorema de Green diz que:
Calculando:
Então,
Precisamos calcular a área
fechada pelo caminho.
Passo 7
A área
é formada pela elipse, pela parábola e pela linha reta. Calcular essa área diretamente é complicado, mas podemos aproximar ou utilizar simetria.
No entanto, como a diferença
é constante, a integral dupla simplifica para:
Precisamos então estimar a área.
A elipse
tem área
.
A parábola e a linha reta complicam, mas considerando a simetria e que o caminho completo envolve a área próxima a
, podemos estimar que:
Como essa é uma estimativa e as trajetórias adicionais podem ajustar o valor, percebemos que a resposta está mais próxima de estar entre
e
.
Resposta
O trabalho feito pelo campo
está entre
e
.