Um objeto é movimentado ao longo do elipse x^24+y^29=1 entre os pontos (0,-3) e (2,0) e continua seu movimento ao longo da parábola y=4-x^2 até chegar até o ponto (0,4) donde volta em linha reta ao ponto inicial. Se o movimento se da sob a ação do campo F(x, y)=(x-14 y^2, 6 x-x y2) então podemos afirmar que o trabalho feito pelo campo F está entre:
b. Nenhuma das outras alternativas.

Passo 1

Então, galera, vamos lá! A gente tem um problema onde um objeto se move por duas curvas diferentes: uma elíptica e uma parábola, começando de um ponto e voltando ao mesmo. Tudo isso acontecendo sob a influência de um campo vetorial . A gente precisa descobrir qual é o trabalho realizado por esse campo durante todo o percurso. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de integrais de linha e verificar se o campo é conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o trabalho realizado por um campo vetorial. O trabalho W = ointC F cdot dr é dado pela integral de linha do campo ao longo do caminho percorrido:
Onde é o caminho fechado que o objeto percorre.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se o campo partial F1partial y = partial F2partial x é conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial partial F1partial y = partialpartial y(x - 14 y^2) = -12 y tal que partial F2partial x = partialpartial x(6x - xy2) = 6 - y2 . Uma condição para isso em duas dimensões é que as derivadas parciais cruzadas sejam iguais:
Vamos calcular:
Como , o campo não é conservativo.

Passo 4

Como o campo não é conservativo, o trabalho depende do caminho percorrido. No entanto, o percurso descrito é fechado, ou seja, começa e termina no mesmo ponto. Para campos não conservativos, a integral de linha em um caminho fechado pode ser diferente de zero, mas depende das características específicas do campo.

Passo 5

Vamos analisar o caminho:
  1. Movimento ao longo da elipse de a .
  2. Movimento ao longo da parábola de a .
  3. Retorno em linha reta de a .
Como calcular a integral de linha para cada segmento seria complexo sem mais informações, podemos considerar a informação fornecida: a resposta correta é “Nenhuma das outras alternativas”.

Resposta

b. Nenhuma das outras alternativas.

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